Limit ve Süreklilik Ders Notu

Limitin Anlamı ve Tek Taraflı Limitler

**lim(x→a) f(x)=L**, x'in a yakınındaki değerlerinde f(x)'in L'ye yaklaşmasıdır. **x→a⁻** soldan (x<a), **x→a⁺** sağdan (x>a) yaklaşımdır. İki yönlü limitin varlığı için bu iki limit **eşit** olmalıdır. f(a)'nın tanımsız veya farklı olması limiti tek başına değiştirmez. Grafikte **boş nokta**, limitin o noktada var olmasını engellemeyebilir; tek taraflı yüksekliklere bakılır.

Temel Limit Kuralları

**lim c=c**, **lim(x→a)x=a**. lim f=L, lim g=M ise **lim(f±g)=L±M**, **lim(kf)=kL**, **lim(fg)=LM**, **lim(f/g)=L/M (M≠0)**. Polinomda yerine yazma; rasyonel ifadede payda hedef noktada sıfır değilse doğrudan bölüm hesabı yapılır.

**Örnek:** lim(x→2)(x³−3x+4)=8−6+4=**6**. lim(x→1)(2x+1)/(x+3)=**3/4**.

Köklü, Üstel, Logaritmik ve Trigonometrik İfadeler

Kökte iç ifadenin limiti alınır; çift dereceli kökün gerçel tanım koşulu aranır. **b>0, b≠1** için üstel ifadenin limiti, üs limitinin b tabanındaki kuvvetidir. Logaritmada taban uygun olmalı, **iç limit pozitif** olmalıdır. Sinüs/kosinüs doğrudan yaklaşım değerinde hesaplanabilir. Tanjant/kotanjant için ilgili açının tanımlı olup olmadığı kontrol edilir.

**Örnek:** lim(x→2)√(x²+5)=3; lim(x→1)2^(x+2)=8; lim(x→3)log₂(x+1)=2; lim(x→π/2)sin x=1.

Parçalı Fonksiyonlarda Kritik Nokta

x=a ayrım noktasında **sol parçaya soldan**, **sağ parçaya sağdan** yaklaşılır. İkisi eşitse limit ortak değerdir. x=a için farklı tanımlanan bir değer limit sonucunu değiştirmez.

**Örnek:** f(x)=x+2 (x<1) ve f(x)=4−x (x≥1) olduğunda her iki taraf da 3'e yaklaşır; lim(x→1)f(x)=3'tür. Sağ parça x=1'i içerdiğinden f(1)=3 olup fonksiyon ayrıca süreklidir.

0/0 Belirsizliği ve Cebirsel Çözüm

Pay/payda doğrudan **0/0** verirse bu sonuç **limitin değeri değil**, cebirsel düzenleme gerektiren durumdur. Ortak çarpan bulunup sadeleştirilir; gerekirse köklü fark **eşlenikle** çarpılır veya üstel ifadelerde ortak çarpım kurulur. Sadeleştirme, orijinal fonksiyonu hedef noktada tanımlı hâle getirmez.

**Örnek:** lim(x→3)(x²−9)/(x−3)=lim(x→3)(x+3)=**6**. lim(x→9)(√x−3)/(x−9)=lim1/(√x+3)=**1/6**.

Bir Noktada Süreklilik

Üç zorunlu koşul: **(1) f(a) tanımlı**, **(2) lim(x→a)f(x) var**, **(3) limit=f(a)**. Limit farklı ya da f(a) tanımsızsa süreksizlik oluşur. Limiti farklı taraflardan hesaplayıp eşitlik sağlamadan yalnız f(a)'yı bulmak yeterli değildir.

Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve sabit katı süreklidir; bölüm için **payda sıfır olmamalıdır**. Polinomlar R üzerinde; rasyonel fonksiyonlar paydanın sıfır olmadığı tanım noktalarında; kök ve logaritma ifadeleri kendi tanım aralıklarında süreklidir.

Aralık Uçları ve Parametre

Kapalı **a–b aralığı** için a'da **sağdan**, b'de **soldan** limit ilgili fonksiyon değerine eşit olmalıdır. İç noktalarda çift taraflı koşul geçerlidir. Parçalı fonksiyonda süreklilik için **sol limit=sağ limit=f(a)** denklemleri yazılır.

Kısa Özet

• **Limit:** Yaklaşım; **f(a):** noktadaki gerçek değer.
• **İki yönlü limit:** sol=sağ.
• **0/0:** belirsizlik; sadeleştirmeyle yeniden değerlendirme.
• **Süreklilik:** f(a) mevcut + limit mevcut + ikisi eşit.
• **Kapalı aralık ucu:** iç taraftan süreklilik.