Türevin Uygulamaları Ders Notu

Türevin Uygulamaları — Ders Notu

Artma ve Azalma Testi

Bir fonksiyonun türevinin işareti grafiğin yönünü belirler. **f′(x)>0** ise ilgili aralıkta artma, **f′(x)<0** ise azalma vardır. Sıfır veya tanımsız noktaları bularak bir işaret tablosu kur; kritik noktaların solundaki ve sağındaki aralıkları test et. f′(x)=0 olması tek başına yön değişimi göstermeyebilir. f′ grafiği veriliyorsa x ekseninin üstü (+), altı (−) türev anlamına gelir.

**Kısa örnek:** f(x)=x³−3x² ⇒ f′=3x(x−2). İşaret (+,−,+) olduğundan x<0 ve x>2 için artar, 0<x<2 için azalır.

Kritik Nokta ve Yerel Ekstremum

Fonksiyonun tanım kümesi içindeki bir x₀'da f′(x₀)=0 olması veya türevin bulunmaması kritik nokta verir. **f′: +→−** ise yerel maksimum, **f′: −→+** ise yerel minimum oluşur. İşaret değişimi yoksa ekstremum zorunlu değildir. Yerel maksimum/minimum **noktası** (x₀,f(x₀)), **değeri** f(x₀)'dır. Sürekli bir keskin köşede türev bulunmasa bile ekstremum olabilir.

**Örnek:** f(x)=x³ için f′(0)=0, fakat f′(x)=3x² işaret değiştirmez; x=0 ekstremum değildir. f(x)=|x| için x=0 yerel minimumdur, türevi yoktur.

Parametreli Monotonluk ve Ekstremumsuzluk

Türevi ikinci dereceden olan polinomlarda f′'nin başkatsayısı ve **Δ** birlikte incelenir. Pozitif başkatsayılı bir parabol şeklindeki f′, Δ≤0 ise negatif değer almaz; fonksiyon artar. Bir kübik polinomun ikinci dereceden türevi iki ayrı gerçek kökte işaret değiştiriyorsa yerel maksimum ve minimum oluşabilir; Δ≤0 olması bu tür ekstremumları engeller. Çift katlı kökün varlığını göz ardı etme.

Mutlak Maksimum ve Minimum

Sürekli f, **kapalı a ile b aralığında** mutlak maksimum ve minimum alır. Adaylar: f(a), f(b) ve (a,b) içindeki kritik noktalardaki değerler. Hepsini karşılaştır; en büyük ve en küçük değerleri seç. Açık aralıkta uçlara yaklaşan fakat alınamayan değerler maksimum veya minimum sayılmaz.

**Örnek:** f(x)=x²−4x+1, 0 ile 5 kapalı aralığında için f′=2x−4, kritik x=2'dir. f(0)=1, f(2)=−3, f(5)=6; mutlak minimum −3, mutlak maksimum 6'dır.

Türevle Grafik Çizimi

1. f(0) ile y kesişimini, f(x)=0 ile x kesişimlerini bul.
2. f′(x)=0 ve türevin tanımsız olduğu iç noktaları belirle.
3. Türev işaret tablosundan artan-azalan bölgeleri ve ekstremumları bul.
4. Bu bilgilerle tutarlı grafik çiz; x kökünü türev kökü sanma.

**Örnek:** f(x)=x⁴−4x²'nin x kesişimleri −2,0,2; kritik apsisleri −√2,0,√2'dir. x=0'da yerel maksimum 0; ±√2'de yerel minimum −4 bulunur.

Maksimum-Minimum Modeli

En iyileme sorusunda önce **koşul denklemi**, sonra tek değişkenli **alan/hacim fonksiyonu**, uygun değişken aralığı ve türev işareti gerekir. Pozitiften negatife değişen türev maksimumu, negatiften pozitife değişen türev minimumu işaret eder.

• **Kenarları toplamı S olan dikdörtgen:** A(x)=x(S−x); alan x=S/2'de maksimum.
• **Yüksekliği h sabit dikdörtgenler prizması:** V(x)=h·x(S−x).
• **Akarsu kenarındaki üç tarafı çitli tarla:** İki kısa kenar x ve üçüncü kenar L−2x; A(x)=x(L−2x).
• **Tabanı B, yüksekliği H olan üçgene yerleşen dikdörtgen:** A(h)=Bh(1−h/H); h=H/2'de maksimum.
• **Küre içi dik silindir:** r²+h²=R² (h yarı yükseklik), V=2πr²√(R²−r²); maksimum için r=R√(2/3).

Kısa Özet

**Türev işareti → artma/azalma → yerel ekstremum → grafik** bağlantısını kur. Mutlak ekstremumda kapalı aralık uçlarını unutma. Sözel problemlerde birim, pozitif kenar koşulu, tek değişkenli model ve sorulan niceliğe dönüş son kontrollerdir.