10. Sınıf Matematik Üçgende Yardımcı Elemanlar Konu Anlatımı

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Üç yolun arasında kalan üçgen biçimli bir alana, üç yola da eşit uzaklıkta bir anıt dikmek isteyelim. Ya da üç marketin her birine eşit uzaklıkta bir depo kurmak, üçgen biçimli bir tabloyu duvara dengeli asmak, bir parkta en kısa yoldan bir caddeye ulaşmak... Bu problemlerin her birinin cevabı, üçgenin yardımcı elemanlarından birinde saklıdır: açıortay, kenarortay, kenar orta dikme ve yükseklik.

Üçgen biçimli bir kâğıdı katlayarak bu elemanları kolayca görebiliriz. AB kenarını AC kenarının üzerine katladığımızda oluşan kat izi A açısını iki eş parçaya ayırır; bu bir açıortaydır. C köşesini B köşesiyle çakıştırdığımızda oluşan kat izi BC'yi ortalar ve ona diktir; bu bir kenar orta dikmedir. B köşesini BC üzerinde A hizasına kadar katladığımızda oluşan kat izi A'dan BC'ye dik iner; bu bir yüksekliktir. Kenarortay ise orta noktayı katlamayla bulup karşı köşeyle birleştirerek elde edilir.

Bu konuda her yardımcı elemanın tanımını, özelliklerini, kesim noktalarının anlamını ve bu özelliklerin problem çözümünde nasıl kullanıldığını öğreneceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• iç açıortay ve dış açıortayın karşı kenarı (veya uzantısını) böldüğü parçaların oranını kullanmak,
• açıortay üzerindeki bir noktanın açının kollarına eşit uzaklıkta olduğunu açıklamak,
• iç açıortayların kesim noktasının iç teğet çemberin, iki dış ve bir iç açıortayın kesim noktasının dış teğet çemberin merkezi olduğunu göstermek,
• kenarortayların kesim noktası olan ağırlık merkezinin kenarortayları 2 : 1 oranında böldüğünü kullanmak,
• dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın hipotenüsün yarısı olduğunu kullanmak,
• kenar orta dikmelerin kesim noktasının çevrel çemberin merkezi olduğunu kullanmak,
• yüksekliklerin kesim noktasının üçgenin türüne göre konumunu belirlemek.

1. İç Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. Üçgende bir iç açının açıortayının köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına iç açıortay denir.

İç Açıortay Teoremi

ABC üçgeninde A açısının açıortayı BC'yi D noktasında kessin. Bu durumda

|AB| / |AC| = |BD| / |DC|

olur. Yani açıortay karşı kenarı, açıyı oluşturan kenarlarla aynı oranda böler.

Benzerlikle gösterim: B'den AD'ye paralel bir doğru çizilsin ve CA'nın uzantısını E'de kessin. AD ∥ BE olduğundan iç ters ve yöndeş açılar eşittir; ABE üçgeninin E ve B'deki açıları A açısının yarısına eşit çıkar. Bu yüzden ABE ikizkenardır: |AE| = |AB|. CBE üçgeninde AD ∥ EB olduğundan |CA| / |AE| = |CD| / |DB|, yani |AC| / |AB| = |DC| / |BD|'dir.

Açıortay Üzerindeki Noktanın Özelliği

Bir açının açıortayı üzerindeki her nokta, açının kollarına eşit uzaklıktadır. ABC açısının açıortayı üzerindeki E noktasından kollara EF ve EG dikmeleri inilirse BFE ve BGE dik üçgenleri A.K.A. ile eştir (ortak hipotenüs BE, eşit açılar). Bu yüzden |EF| = |EG| ve |BF| = |BG|'dir.

Tersi de doğrudur: Bir açının iç bölgesinde, kollara eşit uzaklıkta olan nokta o açının açıortayı üzerindedir. Bir penaltı atışında kalecinin topu kurtarma şansını artırmak için kendini topla iki direğin oluşturduğu açının açıortayı üzerine konumlandırması bu özelliğe dayanır.

2. İç Açıortayların Kesim Noktası: İç Teğet Çember

Bir üçgenin iki iç açıortayının kesim noktası I olsun. I, birinci açıortay üzerinde olduğu için iki kenara, ikinci açıortay üzerinde olduğu için diğer iki kenara eşit uzaklıktadır. Dolayısıyla üç kenara da eşit uzaklıktadır ve bu yüzden üçüncü açıortay da I'dan geçer.

Üç iç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır ve üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. İç teğet çember, üçgenin içinde olup üç kenara da teğet olan çemberdir; yarıçapı r ile gösterilir.

İki iç açıortayın kesim noktası K ise ABK üçgeninde A/2 + B/2 + m(AKB) = 180° olur. A + B = 180° − C yerine yazılırsa

m(AKB) = 90° + m(C)/2

bulunur.

3. Dış Açıortay

Üçgenin bir dış açısının açıortayına dış açıortay denir. Bir köşedeki iç ve dış açıortaylar birbirine diktir; çünkü iç ve dış açının toplamı 180°, yarılarının toplamı 90°'dir.

Dış Açıortay Teoremi

ABC üçgeninde A köşesindeki dış açıortay BC'nin uzantısını E'de kesiyorsa

|AB| / |AC| = |EB| / |EC|

olur. Bu, iç açıortay teoremine benzer; tek fark E noktasının BC doğru parçasının dışında olmasıdır.

Dış Teğet Çember

Bir üçgenin iki köşesindeki dış açıortaylar ile üçüncü köşedeki iç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin bir kenarına ve diğer iki kenarın uzantılarına eşit uzaklıktadır; üçgenin dışında kalan ve bu üç doğruya teğet olan dış teğet çemberin merkezidir. Her köşe için bir tane olmak üzere bir üçgenin üç dış teğet çemberi vardır.

4. Kenarortaylar ve Ağırlık Merkezi

Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Üç kenarortay tek bir noktada kesişir; bu noktaya ağırlık merkezi denir ve G ile gösterilir.

Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler: |AG| = 2|GD|. Buna göre G'nin bir köşeye uzaklığı, o köşenin karşısındaki kenarın orta noktasına uzaklığının iki katıdır; G kenarortayın 1/3'ü kadar kenara, 2/3'ü kadar köşeye yakındır.

Üçgen biçimli düzgün bir levha ağırlık merkezinden asılırsa dengede kalır. Ağırlık merkezi dışındaki bir noktadan asılırsa denge durumunda ağırlık merkezi asılma noktasından geçen düşey doğru üzerine gelir.

Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay

A açısı dik olan ABC üçgeninde BC'nin orta noktası D ise

|AD| = |BD| = |DC| = |BC| / 2

olur. Hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır.

5. Kenar Orta Dikmeler ve Çevrel Çember

Bir kenarın orta noktasından o kenara çizilen dik doğruya kenar orta dikme denir. Kenar orta dikme üzerindeki her nokta, kenarın iki ucuna eşit uzaklıktadır.

İki kenar orta dikmenin kesim noktası O, üç köşeye de eşit uzaklıktadır; bu yüzden üçüncü kenar orta dikme de O'dan geçer. Üç kenar orta dikme tek noktada kesişir ve bu nokta üçgenin çevrel çemberinin (üç köşeden geçen çemberin) merkezidir: |OA| = |OB| = |OC| = R.

Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır ve R = hipotenüs / 2'dir.

Eşkenar üçgende açıortay, kenarortay, kenar orta dikme ve yükseklik çakışır. Bu yüzden iç teğet çemberin merkezi, çevrel çemberin merkezi ve ağırlık merkezi aynı noktadır. Kenarı a olan eşkenar üçgende yükseklik h = a√3/2, R = (2/3)h = a√3/3 ve r = (1/3)h = a√3/6'dır; R = 2r'dir.

6. Yükseklikler

Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir. A köşesinden çizilen yükseklik ha ile gösterilir.

Üç yükseklik (veya yükseklik doğruları) tek bir noktada kesişir. Bu noktanın konumu üçgenin türüne bağlıdır:

• Dar açılı üçgende yüksekliklerin kesim noktası üçgenin iç bölgesindedir.
• Dik açılı üçgende dik köşededir (iki dik kenar aynı zamanda yüksekliktir).
• Geniş açılı üçgende üçgenin dış bölgesindedir.

Bir noktadan bir doğruya en kısa yol diktir; bu yüzden bir evden caddeye en kısa yol, caddeye dik olan yoldur.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Açıortay Oranı

Açıortayın kestiği kenarın parçaları istenir.

Kalıp 2: Ağırlık Merkezi

Kenarortay parçaları veya ağırlık merkezinin uzaklığı istenir.

Kalıp 3: Hipotenüse Ait Kenarortay

Dik üçgende hipotenüsün orta noktasına çizilen kenarortay istenir.

Kalıp 4: Kesim Noktalarının Özelliği

Hangi noktanın hangi özelliğe sahip olduğu sorulur.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Açıortay karşı kenarı ortalamaz; kenarları kenar uzunluklarıyla orantılı böler.
• Kenarortay karşı kenarı ortalar ama açıyı genellikle ortalamaz.
• İç teğet çemberin merkezi kenarlara, çevrel çemberin merkezi köşelere eşit uzaklıktadır.
• Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 böler; 1 : 1 değil.
• Yüksekliklerin kesim noktası her zaman üçgenin içinde değildir.
• Bir köşedeki iç ve dış açıortaylar diktir.
• Dış açıortay teoreminde nokta kenarın uzantısındadır; oranlar uzantıdaki uzunluklarla yazılır.
• Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır; dik kenarlara ait kenarortaylar için bu geçerli değildir.
• İkizkenar üçgende tepe köşesinden çizilen açıortay, kenarortay ve yükseklik çakışır; eşkenar üçgende üç köşede de çakışır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Soruda “eşit uzaklık”, “orta nokta”, “dik”, “açıyı iki eşit parçaya” ifadelerini bul ve ilgili elemanı belirle.
• Açıortay varsa oran teoremini yaz; dış açıortay için uzantıdaki parçaları kullan.
• Ağırlık merkezi varsa kenarortayları k, 2k biçiminde böl.
• Dik açı varsa Pisagor teoremini ve hipotenüse ait kenarortay özelliğini hatırla.
• Kesim noktası sorularında noktanın neye eşit uzaklıkta olduğunu yaz; doğru merkez türünü seç.
• Açı sorularında açıortayların ayırdığı yarım açıları işaretle ve iç açılar toplamını kullan.

Konu Özeti

Üçgenin yardımcı elemanları açıortay, kenarortay, kenar orta dikme ve yüksekliktir. İç açıortay karşı kenarı, açıyı oluşturan kenarlarla orantılı böler; dış açıortay da karşı kenarın uzantısını aynı oranla böler. Açıortay üzerindeki her nokta açının kollarına eşit uzaklıktadır; iç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde, iki dış ve bir iç açıortay dış teğet çemberin merkezinde kesişir. Kenarortaylar ağırlık merkezinde kesişir ve bu nokta kenarortayları köşeden itibaren 2 : 1 böler; dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Kenar orta dikmeler çevrel çemberin merkezinde kesişir; bu nokta köşelere eşit uzaklıktadır. Yükseklikler tek noktada kesişir; bu nokta dar açılı üçgende içte, dik üçgende dik köşede, geniş açılı üçgende dışta bulunur. Eşkenar üçgende tüm yardımcı elemanlar çakışır ve R = 2r'dir.