10. Sınıf Matematik Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler Ders Notu

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler – Ders Notu

Tanımlar

Dik üçgende ölçüsü α olan dar açı için:

• sin α = karşı / hipotenüs, cos α = komşu / hipotenüs
• tan α = karşı / komşu, cot α = komşu / karşı
• Karşı ve komşu kenar açıya göre değişir; hipotenüs dik açının karşısındadır.
• Benzer dik üçgenlerde oranlar aynıdır ⇒ oranlar yalnız açıya bağlıdır.
• Dar açıda 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.

Özel Açılar

• 30°: sin 1/2, cos √3/2, tan √3/3, cot √3
• 45°: sin √2/2, cos √2/2, tan 1, cot 1
• 60°: sin √3/2, cos 1/2, tan √3, cot √3/3

Kaynak: kenarı 2 olan eşkenar üçgenin yarısı (1, √3, 2) ve dik kenarı 1 olan ikizkenar dik üçgen (1, 1, √2).

Özdeşlikler

• sin²α + cos²α = 1 (Pisagor)
• tan α · cot α = 1
• tan α = sin α / cos α, cot α = cos α / sin α
• sin α = cos(90° − α), tan α = cot(90° − α)

Uygulamalar

• Hipotenüs 1 ⇒ dik kenarlar sin x ve cos x.
• Eğim (%) = tan α · 100; tablo sin, cos veriyorsa tan = sin / cos.
• Dik üçgen yoksa dikme indir; ortak dikmeyi k ile ifade et (tan 22° ≈ 0,4 ⇒ 4k ve 10k).

Birim Çember ve Yönlü Açı

• Birim çember: merkez orijin, yarıçap 1. Nokta (cos α, sin α).
• Geniş açı: cos < 0, sin > 0. cos 120° = −1/2, sin 120° = √3/2; cos 135° = −√2/2, sin 135° = √2/2; cos 150° = −√3/2, sin 150° = 1/2.
• İş: W = F · d · cos θ; θ geniş ⇒ W < 0.
• Saat yönünün tersi pozitif, saat yönü negatif yönlü açı; +140° ile −220° aynı noktayı verir.

Kısa Özet

Oranlar açıya bağlıdır; özel açılar çizimle bulunur; özdeşlikler Pisagor ve tanımlardan gelir; birim çemberde koordinatlar (cos α, sin α) olup geniş açılarda kosinüs negatiftir.