10. Sınıf Matematik Sinüs ve Kosinüs Teoremleri Ders Notu

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri – Ders Notu

Gösterim

• |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c; her kenar karşısındaki açının harfiyle adlandırılır.

Sinüs Teoremi

• a / sin A = b / sin B = c / sin C.
• İspat: A(ABC) = (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B = (1/2)ab sin C eşitlikleri.
• Her üçgende geçerlidir; dik üçgende sinüs tanımına dönüşür.
• Orantı özelliği: oranlar (a + b + c) / (sin A + sin B + sin C)'ye de eşittir.
• sin A : sin B : sin C = a : b : c.
• sin²A + sin²B = sin²C ⇒ a² + b² = c² ⇒ C dik açı.
• Açı bulurken dikkat: sin x = sin(180° − x).

Kosinüs Teoremi

• a² = b² + c² − 2bc · cos A; b² = a² + c² − 2ac · cos B; c² = a² + b² − 2ab · cos C.
• İspat: B'den AC'ye dikme, |AH| = x = c · cos A, iki dik üçgende Pisagor.
• cos A = (b² + c² − a²) / (2bc).
• A = 90° ⇒ Pisagor teoremi.
• cos A < 0 ⇒ A geniş açı.

Teorem Seçimi

• İki açı + bir kenar ⇒ sinüs teoremi.
• İki kenar + aradaki açı ⇒ kosinüs teoremi.
• Üç kenar ⇒ kosinüs teoremi.

Kısa Özet

Sinüs teoremi kenarları karşı açıların sinüsleriyle orantılı kılar; kosinüs teoremi Pisagor teoremini her üçgene genişletir.