10. Sınıf Matematik Üçgenin Alanı Konu Anlatımı

Üçgenin Alanı

Bir yelken bezinin maliyeti, bir duvara sürülecek boyanın miktarı, bir tarlanın çocuklar arasında paylaştırılması... Bu soruların hepsinde üçgensel bir bölgenin alanını bilmemiz ya da iki üçgenin alanlarını karşılaştırmamız gerekir. Çoğu zaman alanın kendisini hesaplamak bile gerekmez; alanların birbirine oranını bilmek yeterlidir.

Bir üçgenin alanını belirleyen temel elemanlar kenar uzunlukları ve o kenarlara ait yüksekliklerdir. Bu konuda alan formülünden yola çıkarak şu ilişkileri öğreneceğiz:

• yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları ile tabanları arasındaki ilişki,
• tabanları eşit üçgenlerin alanları ile yükseklikleri arasındaki ilişki,
• paralel doğrular arasında ortak tabana sahip üçgenlerin alanları,
• bu üçgenlerin ortak olmayan bölgelerinin alanları,
• benzer üçgenlerin alanları oranı ile benzerlik oranı arasındaki ilişki,
• iki kenarı ve aradaki açısı bilinen üçgenin alanını sinüs yardımıyla bulma.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• üçgenin alanını bir kenar ve o kenara ait yükseklik ile hesaplamak,
• yükseklikleri veya tabanları eşit üçgenlerin alanlarını oranlamak,
• paralel doğrular arasındaki ortak tabanlı üçgenlerin alanlarının eşit olduğunu kullanmak,
• benzer üçgenlerde alan oranının benzerlik oranının karesi olduğunu kullanmak,
• A = (1/2) · a · b · sin C bağıntısını kullanmak.

1. Üçgenin Alanı: Taban ve Yükseklik

ABC üçgeninde BC kenarının uzunluğu a, bu kenara ait yükseklik ha ise

A(ABC) = a · ha / 2

olur. Aynı alan diğer kenarlar ve onlara ait yükseklikler kullanılarak da yazılabilir:

A(ABC) = a · ha / 2 = b · hb / 2 = c · hc / 2.

Bu eşitlik, bir yüksekliği bilinmeyen bir üçgende alanı başka bir kenar ve yükseklikle hesaplayıp bilinmeyen yüksekliği bulmamızı sağlar. Dik üçgende dik kenarlar birbirine ait yükseklik olduğundan alan, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

2. Yükseklikleri Eşit Olan Üçgenler

Tabanları aynı doğru üzerinde olan ve tepe noktaları ortak olan üçgenlerin yükseklikleri eşittir. Alan formülünde yükseklik sabit kalırsa alan yalnızca tabana bağlı olarak değişir:

Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı, eşit yüksekliklere ait tabanların uzunlukları oranına eşittir.

ABC üçgeninde D, BC üzerinde ise ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan çizilen yükseklikleri ortaktır. Bu yüzden

A(ABD) / A(ADC) = |BD| / |DC|

olur. Özel olarak D, BC'nin orta noktasıysa (AD kenarortay ise) iki üçgenin alanları eşittir.

Bir üçgenin tabanı 2 katına çıkarılıp yüksekliği sabit tutulursa alanı da 2 katına çıkar.

3. Tabanları Eşit Olan Üçgenler

Taban sabit tutulup yükseklik değiştirildiğinde alan yükseklikle aynı oranda değişir:

Taban uzunlukları eşit üçgenlerin alanları oranı, eşit taban uzunluklarına ait yükseklikleri oranına eşittir.

4. Paralel Doğrular Arasında Ortak Tabanlı Üçgenler

d1 ∥ d2 olsun. A ve B noktaları d1 üzerinde, C ve D noktaları d2 üzerinde ise ABC ve ABD üçgenlerinin tabanı AB ortaktır. C ve D'nin AB'ye uzaklığı, iki paralel doğru arasındaki uzaklığa eşittir; yani yükseklikler de eşittir. Bu yüzden

Köşe noktaları birbirine paralel iki doğru üzerinde olan, ortak tabana sahip üçgenlerin alanları birbirine eşittir.

Tepe noktası paralel doğru üzerinde nerede olursa olsun alan değişmez. Örneğin bir dikdörtgenin bir kenarı taban, karşı kenar üzerindeki herhangi bir nokta tepe noktası olarak alınırsa oluşan üçgenin alanı dikdörtgenin alanının yarısıdır.

5. Ortak Olmayan Bölgelerin Alanları

AB ∥ DE olsun ve ABD ile ABE üçgenleri çizilsin. [AE] ile [BD] F noktasında kesişsin. İki üçgenin alanı eşittir ve ikisi de ABF üçgenini içerir:

A(ABD) = A(ABF) + A(ADF), A(ABE) = A(ABF) + A(BEF).

Ortak bölge çıkarıldığında

A(ADF) = A(BEF)

bulunur. Köşe noktaları birbirine paralel iki doğru üzerinde olan ortak tabanlı iki üçgenin ortak olmayan bölgelerinin alanları eşittir.

6. Benzer Üçgenlerin Alanları

ABC ile DEF benzer ve benzerlik oranı k olsun: |DE| / |AB| = k. Benzer üçgenlerde karşılıklı yükseklikler de aynı oranda olduğundan taban k katına, yükseklik k katına çıkar. Alan ise taban ile yüksekliğin çarpımına bağlı olduğundan k² katına çıkar:

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Bir üçgenin tüm kenarları 3 katına çıkarılırsa alanı 9 katına çıkar; kenarlar yarıya indirilirse alan dörtte birine iner.

7. Sinüs Yardımıyla Alan

ABC üçgeninde A'dan BC'ye inen yükseklik AH olsun. AHC dik üçgeninde sin C = |AH| / |AC| olduğundan ha = b · sin C'dir. Alan formülünde yerine yazılırsa

A(ABC) = (1/2) · a · b · sin C

bulunur. Aynı yolla

A(ABC) = (1/2) · b · c · sin A = (1/2) · a · c · sin B

yazılır. Yani iki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı bilinen üçgenin alanı, bu iki kenarın çarpımının yarısı ile aradaki açının sinüsünün çarpımıdır.

Aradaki açı geniş açı ise de bağıntı geçerlidir. Örneğin sin 150° = sin 30° = 1/2 olduğundan kenarları 6 ve 10 olup aradaki açısı 30° olan üçgen ile 150° olan üçgenin alanları eşittir.

Ortak Açılı Üçgenlerin Alanları Oranı

ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerinde ise ADE ve ABC üçgenlerinin A açısı ortaktır:

A(ADE) / A(ABC) = (|AD| · |AE|) / (|AB| · |AC|).

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Taban Oranından Alan Oranı

Bir kenar üzerindeki nokta ile oluşan üçgenlerin alanları istenir.

Kalıp 2: Paralel Doğrular ve Ortak Taban

Tepe noktası paralel doğru üzerinde kayan üçgenlerin alanı istenir.

Kalıp 3: Benzerlik ve Alan

Kenar oranı verilip alan oranı ya da tersi istenir.

Kalıp 4: Sinüslü Alan

İki kenar ve aradaki açı verilir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Alan formülünde yükseklik, kullanılan tabana ait yükseklik olmalıdır; başka bir kenarın yüksekliği kullanılamaz.
• Benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranına değil, benzerlik oranının karesine eşittir.
• Tüm kenarlar k katına çıkarsa alan k² katına çıkar; yalnızca taban k katına çıkarsa alan k katına çıkar.
• (1/2) · a · b · sin C bağıntısında C, a ve b kenarlarının arasındaki açı olmalıdır; karşıdaki açı değil.
• sin 150° = sin 30° olduğundan aradaki açısı 30° ve 150° olan (kenarları aynı) üçgenlerin alanları eşittir.
• Ortak olmayan bölgelerin eşitliği için tepe noktaları paralel doğru üzerinde ve taban ortak olmalıdır.
• Kenarortay üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır; açıortay ise kenar oranında ayırır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Üçgenler arasında ortak eleman ara: ortak yükseklik, ortak taban, ortak açı ya da benzerlik.
• Alanları doğrudan hesaplamak yerine k, 2k, 3k gibi oranlarla yaz; toplam alan verildiyse k'yı bul.
• Paralel doğru gördüğünde tepe noktasını paralel doğru üzerinde kaydırarak alanı hesaplanabilir bir üçgene taşı.
• İki kenar ve aradaki açı verildiyse sinüslü alan bağıntısını kullan; açı geniş ise sinüsünü dar açı yardımıyla bul.
• Ölçek, büyütme veya küçültme varsa alan oranını benzerlik oranının karesiyle bul.

Konu Özeti

Üçgenin alanı bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları tabanlarıyla, tabanları eşit üçgenlerin alanları yükseklikleriyle orantılıdır. Köşeleri paralel iki doğru üzerinde olan ortak tabanlı üçgenlerin alanları eşittir; bu üçgenlerin ortak olmayan bölgelerinin alanları da eşittir. Benzer üçgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesidir. İki kenarı ve aradaki açısı bilinen üçgenin alanı A = (1/2) · a · b · sin C ile bulunur; ortak açılı üçgenlerin alanları oranı bu açıyı oluşturan kenarların çarpımları oranına eşittir.