10. Sınıf Matematik Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler Konu Anlatımı

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Bir yelkenlinin direğini güverteye bağlayan paralel halatlar, bir parktaki zipline parkuru, bir yolun eğimini gösteren trafik levhası, kırılıp devrilen bir direk... Bu durumların hepsinde bir dik üçgen ve bu üçgenin açılarıyla kenarları arasındaki bir ilişki vardır. Bir açının ölçüsünü ve bir kenarın uzunluğunu bildiğimizde diğer kenarları, kenarları bildiğimizde de açıları hakkında bilgi edinmemizi sağlayan bu ilişkilere trigonometrik oranlar denir.

Bu konuda dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranlarını tanımlayacak, bu oranların neden yalnızca açıya bağlı olduğunu benzerlikle açıklayacak, 30°, 45° ve 60°lik açıların oranlarını bulacak, oranlar arasındaki özdeşlikleri elde edecek ve birim çember yardımıyla geniş açıların sinüs ve kosinüs değerlerine ve yönlü açı kavramına geçeceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• dik üçgende bir dar açıya göre karşı dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüsü belirlemek,
• sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranlarını tanımlamak ve hesaplamak,
• trigonometrik oranların üçgenin büyüklüğüne değil açının ölçüsüne bağlı olduğunu açıklamak,
• 30°, 45° ve 60°lik açıların trigonometrik oranlarını bulmak ve kullanmak,
• sin²α + cos²α = 1, tan α · cot α = 1, tan α = sin α / cos α, cot α = cos α / sin α, sin α = cos(90° − α) ve tan α = cot(90° − α) özdeşliklerini elde etmek ve kullanmak,
• birim çemberde bir noktanın koordinatlarını sinüs ve kosinüs ile ilişkilendirmek; geniş açıların sinüs ve kosinüs değerlerini bulmak,
• yönlü açıyı açıklamak ve günlük hayat problemlerinde trigonometrik oranları kullanmak.

1. Dik Üçgende Kenarların Adlandırılması

Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür ve üçgenin en uzun kenarıdır. Diğer iki kenar dik kenarlardır. Dik kenarlar, hangi dar açıya göre bakıldığına bağlı olarak farklı adlar alır:

• Karşı dik kenar: Ele alınan dar açının karşısındaki dik kenar.
• Komşu dik kenar: Ele alınan dar açının bir kolunu oluşturan dik kenar.

ABC dik üçgeninde A açısı dik, B açısının ölçüsü α olsun. α açısına göre AC karşı dik kenar, AB komşu dik kenar, BC hipotenüstür. Aynı üçgende C açısına göre bakılırsa AB karşı, AC komşu dik kenar olur. Bu yüzden oranları yazmadan önce hangi açıya göre çalıştığımızı belirlemek gerekir.

2. Trigonometrik Oranlar ve Benzerlik

3-4-5 dik üçgenine benzer üçgenler düşünelim: 6-8-10, 9-12-15 gibi. Bu üçgenlerin hepsinde en küçük dar açı aynıdır ve bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranı her üçgende 3/5'tir: 6/10 = 9/15 = 3/5. Çünkü benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar aynı oranda büyür; oranları ise değişmez.

Bu gözlem şu sonucu verir: Dik üçgenin tüm kenar uzunluklarının aynı oranda değişmesi açıların ölçüsünü değiştirmez. Karşılıklı kenarları orantılı olan dik üçgenlerin orantılı kenarlarını gören açıları eşittir. Dolayısıyla bir dar açının karşı kenar / hipotenüs gibi oranları yalnızca o açıya bağlıdır. Bu oranlara trigonometrik oranlar denir:

• sin α = karşı dik kenar / hipotenüs
• cos α = komşu dik kenar / hipotenüs
• tan α = karşı dik kenar / komşu dik kenar
• cot α = komşu dik kenar / karşı dik kenar

Hipotenüs dik kenarlardan uzun olduğundan bir dar açının sinüs ve kosinüs değerleri 0 ile 1 arasındadır. Tanjant ve kotanjant ise pozitif herhangi bir değer alabilir.

3. Trigonometrik Oranlarla Problem Çözme

Gerçek hayattaki bir durumda bir dik üçgen bulunur veya bir yükseklik çizilerek dik üçgen oluşturulur. Bilinen açı ve kenara göre uygun oran seçilir:

• Karşı ve komşu dik kenarlar söz konusuysa tanjant veya kotanjant,
• Bir dik kenar ve hipotenüs söz konusuysa sinüs veya kosinüs kullanılır.

Dik üçgen yoksa bir köşeden karşı kenara dikme indirilerek iki dik üçgen elde edilir. Ortak dikme her iki üçgende de kullanılarak bilinmeyenler bir parametreyle (k gibi) ifade edilir.

4. 30°, 45° ve 60°lik Açıların Trigonometrik Oranları

30° ve 60°

Kenarı 2 birim olan bir eşkenar üçgende bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçası hem yükseklik hem açıortaydır. Oluşan dik üçgende açılar 30°, 60° ve 90°; kenarlar 1, √3 ve 2'dir (√(2² − 1²) = √3).

• sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3 = √3/3, cot 30° = √3.
• sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3, cot 60° = √3/3.

45°

Dik kenarları 1 birim olan ikizkenar dik üçgende dar açılar 45°, hipotenüs √2'dir.

• sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2, tan 45° = cot 45° = 1.

Bu değerleri ezberlemek yerine eşkenar üçgenin yarısını ve ikizkenar dik üçgeni çizerek her zaman yeniden elde edebilirsin.

5. Trigonometrik Özdeşlikler

ABC dik üçgeninde A dik, B açısı α, C açısı β olsun; |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c.

sin α = b/a, cos α = c/a, tan α = b/c, cot α = c/b; sin β = c/a, cos β = b/a, tan β = c/b, cot β = b/c.

Bu oranlardan şu özdeşlikler elde edilir:

1. sin²α + cos²α = 1. Çünkü (b/a)² + (c/a)² = (b² + c²)/a² ve Pisagor teoremine göre b² + c² = a²'dir.
2. tan α · cot α = 1. Çünkü (b/c) · (c/b) = 1'dir; tanjant ile kotanjant birbirinin çarpmaya göre tersidir.
3. tan α = sin α / cos α ve cot α = cos α / sin α. Çünkü (b/a) / (c/a) = b/c'dir.
4. sin α = cos(90° − α) ve tan α = cot(90° − α). Dik üçgende α + β = 90° olduğundan β = 90° − α'dır; α'nın karşı kenarı β'nın komşu kenarıdır. Yani bir açının sinüsü tümlerinin kosinüsüne, tanjantı tümlerinin kotanjantına eşittir.

Örneğin sin 40° = cos 50°, tan 20° = cot 70°'dir.

6. Trigonometrik Oranların Birbiri Türünden İfadesi

Hipotenüsü 1 birim olan bir dik üçgende x açısına göre karşı dik kenar sin x, komşu dik kenar cos x olur; çünkü sin x = karşı / 1 ve cos x = komşu / 1'dir. Bu üçgende tan x = sin x / cos x ve cot x = cos x / sin x olur.

Bir oranın değeri biliniyorsa uygun bir dik üçgen çizilerek diğer oranlar bulunur. Örneğin bir dar açı için sin α = 3/5 ise karşı kenar 3, hipotenüs 5 alınır; komşu kenar √(25 − 9) = 4 olur. cos α = 4/5, tan α = 3/4, cot α = 4/3'tür.

Eğim ve Tanjant

Bir yolun eğimi, yükseklik farkının yatay uzaklığa oranıdır. Yükseklik farkı eğim açısının karşı dik kenarı, yatay uzaklık komşu dik kenarı olduğundan eğim, eğim açısının tanjantıdır:

Eğim (%) = (Yükseklik farkı / Yatay uzaklık) · 100 = tan α · 100.

Tabloda yalnız sinüs ve kosinüs verilmişse tan α = sin α / cos α kullanılır.

7. Birim Çember ve Geniş Açılar

Dik koordinat sisteminde merkezi orijin, yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Başlangıç kolu x ekseninin pozitif yönü olan bir açının diğer kolu birim çemberi bir P noktasında kessin. P'den x eksenine dikme indirilirse hipotenüsü 1 olan bir dik üçgen oluşur. Bu yüzden:

P noktasının koordinatları (cos α, sin α)'dır.

Örneğin 30° için P(√3/2, 1/2), 45° için P(√2/2, √2/2), 60° için P(1/2, √3/2)'dir.

Bu tanım geniş açılara da genişletilir. Açı 90°'den büyük olduğunda P noktası ikinci bölgeye düşer; x koordinatı negatif, y koordinatı pozitiftir. Bu nedenle geniş açıların kosinüsü negatif, sinüsü pozitiftir.

120°lik açının kolu ile x ekseninin negatif yönü arasındaki açı 60°'dir. Oluşan dik üçgenden P(−1/2, √3/2) bulunur: cos 120° = −1/2, sin 120° = √3/2. Benzer şekilde:

• cos 135° = −√2/2, sin 135° = √2/2.
• cos 150° = −√3/2, sin 150° = 1/2.

Görüldüğü gibi 120°, 135° ve 150°lik açıların sinüsleri sırasıyla 60°, 45° ve 30°lik açıların sinüslerine eşit; kosinüsleri ise bu açıların kosinüslerinin ters işaretlisidir.

İş ve Kosinüs

Fizikte bir kuvvetin yaptığı iş W = F · d · cos θ formülüyle bulunur. Burada F kuvvetin büyüklüğü, d yer değiştirme, θ kuvvet ile yer değiştirme doğrultusu arasındaki açıdır. θ geniş açı ise cos θ negatif olduğundan iş negatiftir; bu, sistemden enerji çekildiğini gösterir.

8. Yönlü Açı

Birim çemberde başlangıç kolu sabit tutulup bitiş kolu orijin etrafında döndürüldüğünde dönme yönü açıya bir yön kazandırır:

• Saat yönünün tersine dönme pozitif yönlü açıdır (örneğin 70°).
• Saat yönünde dönme negatif yönlü açıdır (örneğin −150°).

Aynı noktaya iki yönden de ulaşılabilir: Pozitif yönde 140°lik dönme ile ulaşılan noktaya negatif yönde 360° − 140° = 220°lik dönme ile de ulaşılır.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Oranlardan Kenar Bulma

Bir dar açının bir oranı ve bir kenar verilir.

Kalıp 2: Özel Açılar

30°, 45°, 60° içeren ifadelerin değeri istenir.

Kalıp 3: Özdeşlik Kullanımı

Bir ifadeyi sadeleştirmek veya bir değerden diğerini bulmak gerekir.

Kalıp 4: Birim Çember ve Geniş Açı

Geniş açının sinüs veya kosinüs değeri istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Karşı ve komşu dik kenar, ele alınan açıya göre değişir; hipotenüs değişmez.
• sin α ve cos α bir dar açı için 0 ile 1 arasındadır; tan α ve cot α 1'den büyük olabilir.
• Oranlar üçgenin büyüklüğüne değil açının ölçüsüne bağlıdır.
• sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 60° = cos 30° = √3/2 — tümler açılar kuralı.
• sin²α, (sin α)² demektir; sin(α²) değildir.
• tan α · cot α = 1'dir; tan α + cot α = 1 değildir.
• Birim çemberde nokta (cos α, sin α)'dır; x koordinatı kosinüs, y koordinatı sinüstür.
• Geniş açıların kosinüsü negatif, sinüsü pozitiftir.
• Saat yönünün tersi pozitif, saat yönü negatif yönlü açıdır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Şekli çiz, dik açıyı ve ele alınan açıyı işaretle.
• Kenarları açıya göre adlandır.
• Verilen oranı kesir olarak yazıp kenarlara k ile değer ver; Pisagor ile üçüncü kenarı bul.
• Dik üçgen yoksa uygun yerden dikme indir; ortak kenarı iki üçgende de kullan.
• Özdeşlik sorularında kare alma, sin²α + cos²α = 1 ve tan α · cot α = 1'i birlikte düşün.
• Geniş açılarda birim çemberde noktanın hangi bölgede olduğuna bakarak işareti belirle.

Konu Özeti

Dik üçgende bir dar açının karşı dik kenar / hipotenüs oranı sinüs, komşu dik kenar / hipotenüs oranı kosinüs, karşı / komşu oranı tanjant, komşu / karşı oranı kotanjanttır. Benzer dik üçgenlerde bu oranlar değişmez; bu yüzden oranlar yalnız açıya bağlıdır. Eşkenar üçgenin yarısından 30° ve 60°, ikizkenar dik üçgenden 45°lik açıların oranları bulunur. Pisagor teoremi ve oranların tanımından sin²α + cos²α = 1, tan α · cot α = 1, tan α = sin α / cos α, cot α = cos α / sin α, sin α = cos(90° − α) ve tan α = cot(90° − α) özdeşlikleri elde edilir. Hipotenüsü 1 olan dik üçgende dik kenarlar sin x ve cos x'tir; yol eğimi tanjantla ifade edilir. Birim çemberde bir açının kolunun çemberi kestiği nokta (cos α, sin α) olup geniş açıların kosinüsü negatif, sinüsü pozitiftir. Saat yönünün tersindeki dönme pozitif, saat yönündeki dönme negatif yönlü açıdır.