10. Sınıf Matematik Sinüs ve Kosinüs Teoremleri Konu Anlatımı

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Bir arsanın sınırına çekilecek telin uzunluğu, iki uydu arasındaki mesafe, bir teknenin halatları arasındaki açı ya da harita üzerinde iki nokta arasındaki gerçek uzaklık... Bu problemlerin çoğunda ölçülemeyen bir kenarı veya açıyı, ölçülebilen kenar ve açılardan hesaplamak gerekir. Dik üçgende trigonometrik oranlar bu işi görür; ancak üçgen dik değilse ek çizimler yapmak gerekir. Sinüs ve kosinüs teoremleri, ek çizime gerek bırakmadan her üçgende kenar ve açılar arasında ilişki kurmamızı sağlar.

Bu konuda ABC üçgeninde kenarları şu şekilde adlandıracağız: |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c. Yani her kenar, karşısındaki açının harfinin küçüğüyle gösterilir.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• ek çizim yaparak dik olmayan bir üçgende bilinmeyen kenarı bulmak,
• sinüs teoremini alan bağıntısından elde etmek ve kullanmak,
• kosinüs teoremini Pisagor teoremi yardımıyla elde etmek ve kullanmak,
• verilen bilgilere göre sinüs mü kosinüs teoremi mi kullanılacağına karar vermek,
• bu teoremleri harita, ölçme ve mühendislik problemlerinde uygulamak.

1. Ek Çizimle Uzunluk Bulma

Dik olmayan bir üçgende iki açı ve bir kenar biliniyorsa bir köşeden karşı kenara dikme inilerek üçgen iki dik üçgene ayrılabilir. Örneğin ABC üçgeninde |AB| = c, m(A) ve m(C) biliniyorsa B'den AC'ye inen dikme BH için

|BH| = c · sin A

yazılır. BHC dik üçgeninde |BH| = a · sin C olduğundan a · sin C = c · sin A ve buradan a = c · sin A / sin C bulunur.

Bu yol her seferinde dikme çizmeyi gerektirir. Sinüs teoremi bu işlemi tek bir eşitlikle yapmamızı sağlar.

2. Sinüs Teoremi

Herhangi bir ABC üçgeninde

a / sin A = b / sin B = c / sin C

eşitliği geçerlidir. Buna sinüs teoremi denir. Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır.

Sinüs Teoreminin İspatı

Üçgenin alanını üç farklı biçimde yazalım:

A(ABC) = (1/2) · b · c · sin A (I)

A(ABC) = (1/2) · a · c · sin B (II)

A(ABC) = (1/2) · a · b · sin C (III)

(I) ve (II) eşitlenirse b · sin A = a · sin B, yani a / sin A = b / sin B olur. (I) ve (III) eşitlenirse c · sin A = a · sin C, yani a / sin A = c / sin C olur. Böylece a / sin A = b / sin B = c / sin C elde edilir.

Sinüs teoremi dik üçgende, ikizkenar üçgende, geniş açılı üçgende; kısacası her üçgende geçerlidir. Dik üçgende sin 90° = 1 olduğundan hipotenüs / 1 = karşı dik kenar / sin α olur; bu da sin α = karşı / hipotenüs tanımının kendisidir.

Sinüs Teoremi ve Açı Bulma

Sinüs teoremiyle bir açının sinüsü de bulunabilir. Bulunan sinüs değerinden açıyı belirlerken açının dar mı geniş mi olduğuna şekilden ya da verilen bilgilerden karar verilmelidir; çünkü sin 30° = sin 150° gibi dar ve geniş iki açının sinüsü eşittir.

Orantı Özelliği ile Sinüs Teoremi

Sinüs teoreminde oranlar eşit olduğundan orantı özelliği kullanılabilir:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = (a + b + c) / (sin A + sin B + sin C).

Ayrıca sinüslerin oranı verilirse kenarların oranı da bulunur. Örneğin sin A : sin B : sin C = 4 : 3 : 2 ise a : b : c = 4 : 3 : 2'dir.

3. Kosinüs Teoremi

İki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı bilinen bir üçgende üçüncü kenarı bulmak için sinüs teoremi yetmez; çünkü bilinmeyen kenarın karşısındaki açı bilinir ama diğer kenarların karşısındaki açılar bilinmez. Bu durumda kosinüs teoremi kullanılır.

Herhangi bir ABC üçgeninde

a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A

b² = a² + c² − 2 · a · c · cos B

c² = a² + b² − 2 · a · b · cos C

eşitlikleri geçerlidir. Buna kosinüs teoremi denir.

Kosinüs Teoreminin İspatı

ABC üçgeninde B'den AC'ye BH dikmesi inilsin. |BH| = h, |AH| = x olsun; o hâlde |HC| = b − x olur.

ABH dik üçgeninde h² = c² − x².

BHC dik üçgeninde h² = a² − (b − x)².

İki eşitlik birleştirilirse c² − x² = a² − b² + 2bx − x² ⇒ a² = b² + c² − 2bx.

ABH dik üçgeninde cos A = x / c ⇒ x = c · cos A. Yerine yazılırsa

a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A

bulunur. Diğer eşitlikler de dikmenin farklı köşelerden inilmesiyle benzer şekilde elde edilir.

m(A) = 90° ise cos 90° = 0 olduğundan kosinüs teoremi a² = b² + c² olur; yani Pisagor teoremi kosinüs teoreminin özel bir hâlidir.

Kosinüs Teoremi ile Açı Bulma

Üç kenarı bilinen üçgende bir açının kosinüsü kosinüs teoreminden çekilir:

cos A = (b² + c² − a²) / (2 · b · c).

4. Hangi Teorem Ne Zaman Kullanılır?

• İki açı ve bir kenar biliniyorsa: üçüncü açı 180°'den bulunur, kenarlar sinüs teoremiyle hesaplanır.
• İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı biliniyorsa: sinüs teoremiyle diğer kenarın karşısındaki açının sinüsü bulunur.
• İki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa: üçüncü kenar kosinüs teoremiyle bulunur.
• Üç kenar biliniyorsa: açılar kosinüs teoremiyle bulunur.
• Kenarlar arasındaki bir oran yerine sinüsler arasında bir oran verildiyse: sinüs teoremiyle kenar oranına geçilir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: İki Açı ve Bir Kenar

Bilinmeyen kenar sinüs teoremiyle bulunur.

Kalıp 2: İki Kenar ve Aradaki Açı

Üçüncü kenar kosinüs teoremiyle bulunur.

Kalıp 3: Üç Kenardan Açı

Bir açının kosinüsü istenir.

Kalıp 4: Sinüsler Oranından Kenar Oranı

Sinüsler arasında eşitlik verilir, kenar veya çevre istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Sinüs teoreminde her kenar kendi karşısındaki açının sinüsüne bölünür; komşu açı kullanılmaz.
• Kosinüs teoreminde a² yazıldıysa kullanılan açı a'nın karşısındaki A açısıdır; diğer iki kenar bu açıyı oluşturan kenarlardır.
• cos 120° negatif olduğundan − 2 · b · c · cos A terimi artıya döner; işaret hatası en sık yapılan hatadır.
• Sinüsü bilinen açı dar veya geniş olabilir; açının hangisi olduğuna şekil ya da koşul karar verir.
• Sinüs teoremi “kenarlar açılarla orantılıdır” demez; kenarlar açıların sinüsleriyle orantılıdır.
• Pisagor teoremi yalnızca dik üçgende geçerlidir; kosinüs teoremi her üçgende geçerlidir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Bilinen kenar ve açıları şekil üzerinde işaretle; kenarları karşı açılarıyla eşleştir.
• Bilinenler “açı–karşı kenar” çifti içeriyorsa sinüs teoremini, “iki kenar ve aradaki açı” ya da “üç kenar” ise kosinüs teoremini seç.
• Gerekirse önce üçüncü açıyı 180°'den bul.
• Geniş açıların sinüs ve kosinüs değerlerini birim çemberden hatırla: sin(180° − x) = sin x, cos(180° − x) = −cos x.
• Ortak açılı iki üçgende önce birinden açının kosinüsünü bul, sonra diğerinde kullan.

Konu Özeti

Dik olmayan üçgenlerde kenar ve açı hesaplamak için ek çizimler yapılabilir; sinüs ve kosinüs teoremleri bu işi doğrudan yapar. Sinüs teoremi a / sin A = b / sin B = c / sin C eşitliğidir ve alan bağıntısının üç farklı yazılışından elde edilir; iki açı ve bir kenar biliniyorsa kenar bulmada, sinüsler oranı verilince kenar oranı bulmada kullanılır. Kosinüs teoremi a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A eşitliğidir ve bir köşeden dikme inip Pisagor teoremi uygulanarak elde edilir; iki kenar ve aradaki açı biliniyorsa üçüncü kenarı, üç kenar biliniyorsa açıları bulmada kullanılır. Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin açının 90° olduğu özel hâlidir.