Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri Konu Anlatımı

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

Konuya Giriş

Dışbükey çokgenlerin özellikleri konusu; çokgenlerin **köşegen, açı, simetri ve alan** özellikleri arasındaki ilişkileri incelemeye dayanır. MEB kitabında önce bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı ve bu köşegenlerle oluşan üçgen sayısı genellenir. Ardından iç ve dış açı toplamları bulunur. Düzgün çokgenlerde bir iç ve bir dış açının ölçüsü, köşegen-simetri ilişkileri ve alan hesapları ele alınır.

Bu konunun temelinde, çokgeni daha basit üçgensel parçalara ayırarak sonuç üretme düşüncesi vardır.

1. Bir Köşeden Çizilebilecek Köşegen Sayısı

n kenarlı bir dışbükey çokgenin belirli bir köşesi:

• kendisiyle,
• iki komşu köşesiyle

köşegen oluşturmaz.

Bu nedenle geriye:

**n - 3**

köşe kalır.

Dolayısıyla bir köşeden çizilebilecek en fazla köşegen sayısı:

**n - 3**

olur.

2. Bir Köşeden Çizilen Köşegenlerle Oluşan Üçgen Sayısı

Bir köşeden mümkün olan köşegenler çizildiğinde dışbükey çokgen üçgensel bölgelere ayrılır.

n kenarlı dışbükey çokgende oluşan üçgen sayısı:

**n - 2**

olur.

3. Köşegen ve Üçgen Sayısı Arasındaki İlişki

Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı **n - 3**, oluşan üçgen sayısı ise **n - 2** olduğundan:

**üçgen sayısı = köşegen sayısı + 1**

ilişkisi görülür.

4. İç Açıların Toplamı

Bir dışbükey çokgen bir köşeden çizilen köşegenlerle **n - 2** üçgene ayrılır.

Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan:

**İç açıların toplamı = (n - 2) · 180°**

olur.

5. Dış Açıların Toplamı

MEB kitabında dışbükey çokgenin dış açıları toplamının kenar sayısından bağımsız olduğu gösterilir.

Sonuç:

**Dış açıların toplamı = 360°**

6. İç ve Dış Açı İlişkisi

Bir köşedeki iç açı ile ona komşu dış açının ölçüleri toplamı:

**180°**

olur.

Bu bilgi, çokgenin bütün köşeleri için kullanıldığında dış açıların toplamının 360° olduğu sonucuna ulaşılır.

7. Kenar Sayısını İç Açılar Toplamından Bulma

İç açılar toplamı verildiğinde:

**(n - 2) · 180° = verilen toplam**

eşitliği kullanılır.

8. Köşegen Sayısından Kenar Sayısını Bulma

Bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı verilmişse:

**n - 3 = verilen sayı**

eşitliği kullanılır.

9. Üçgen Sayısından Kenar Sayısını Bulma

Bir köşeden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı verilmişse:

**n - 2 = verilen sayı**

eşitliği kullanılır.

10. Düzgün Çokgen

MEB kitabına göre:

**Tüm kenar uzunlukları ve tüm iç açı ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.**

Düzgün çokgenlerde:

• bütün kenarlar eşittir,
• bütün iç açılar eşittir,
• bütün dış açılar eşittir.

11. Düzgün Çokgenin Bir İç Açısı

n kenarlı düzgün çokgende iç açıların toplamı:

**(n - 2) · 180°**

olduğundan ve bütün iç açılar eşit olduğundan bir iç açının ölçüsü:

**[(n - 2) · 180°] / n**

olur.

Aynı bağıntı:

**180° - 360°/n**

şeklinde de yazılabilir.

12. Düzgün Çokgenin Bir Dış Açısı

Düzgün çokgende bütün dış açılar eşit ve toplamları 360° olduğundan:

**Bir dış açı = 360° / n**

olur.

13. Bir İç Açı ile Bir Dış Açının Toplamı

Aynı köşedeki bir iç açı ile bir dış açı bütünlerdir:

**İç açı + dış açı = 180°**

14. Dış Açıdan Kenar Sayısını Bulma

Düzgün çokgende:

**360 / n = dış açı**

olduğundan:

**n = 360 / dış açı**

bağıntısı kullanılabilir.

15. İç Açıdan Kenar Sayısını Bulma

Düzgün çokgende:

**180 - 360/n = iç açı**

bağıntısından kenar sayısı bulunabilir.

16. Düzgün Beşgen

Düzgün beşgen için:

• bütün kenarlar eşittir,
• bütün iç açılar eşittir,
• bir iç açı 108°,
• bir dış açı 72°,
• bir köşeden 2 köşegen çizilir,
• bu köşegenlerle 3 üçgen oluşur.

MEB kitabındaki köşegen ve simetri uygulamalarında düzgün beşgen önemli bir örnektir.

17. Düzgün Altıgen

Düzgün altıgen için:

• bir iç açı 120°,
• bir dış açı 60°,
• bir köşeden 3 köşegen çizilir,
• bu köşegenlerle 4 üçgen oluşur.

MEB kitabında düzgün altıgenin köşegen uzunlukları ve alan ilişkileri ayrıca incelenir.

18. Düzgün Sekizgen

Düzgün sekizgende:

• bir iç açı 135°,
• bir dış açı 45°,
• bir köşeden 5 köşegen çizilir,
• bu köşegenlerle 6 üçgen oluşur.

MEB kitabındaki alan örneğinde düzgün sekizgen simetri eksenleriyle sekiz eş üçgensel bölgeye ayrılır.

19. Düzgün Dokuzgen

Düzgün dokuzgende:

• bir dış açı 40°,
• bir iç açı 140°,
• bir köşeden 6 köşegen,
• 7 üçgen

elde edilir.

20. Düzgün Onikigen

Düzgün onikigende:

• bir dış açı 30°,
• bir iç açı 150°,
• bir köşeden 9 köşegen,
• 10 üçgen

elde edilir.

MEB kitabındaki alan örneğinde düzgün onikigen merkezden 12 eş ikizkenar üçgene ayrılır.

21. Düzgün Onbeşgen

Düzgün onbeşgende:

• bir dış açı 24°,
• bir iç açı 156°,
• bir köşeden 12 köşegen,
• 13 üçgen

elde edilir.

Bu değerler 14. Uygulamadaki tablo örüntüsünün sonucudur.

22. Düzgün Çokgenlerde Simetri

MEB kitabında düzgün çokgenlerin köşegen ve simetri özellikleri, kenar sayısının tek veya çift oluşuna göre incelenir.

İç açıortay doğruları simetri eksenleriyle ilişkilidir ve düzgün çokgenin merkezinde kesişme özellikleri gösterir.

23. Kenar Sayısı Çift Olan Düzgün Çokgenler

MEB Kontrol Noktasına göre kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde:

• en uzun köşegen simetri eksenidir,
• en uzun köşegen iç açıortay doğrusudur,
• iç açıortaylar bir noktada kesişir,
• karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir.

24. Kenar Sayısı Tek Olan Düzgün Çokgenler

MEB Kontrol Noktasına göre kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde:

**Bir köşeden karşı kenara çizilen iç açıortay doğrusu simetri eksenidir.**

Bu durum düzgün beşgen gibi tek kenar sayılı düzgün çokgenlerde görülür.

25. İç Açıortayların Bir Noktada Kesişmesi

Düzgün çokgenlerde simetri yapısı merkez etrafında düzenlidir. Kitapta özellikle çift kenarlı düzgün çokgenlerin iç açıortaylarının bir noktada kesiştiği vurgulanır.

Bu ortak nokta alan hesaplarında çokgeni eş üçgensel bölgelere ayırmak için de kullanılır.

26. Düzgün Çokgenlerde Alan Hesabının Temeli

MEB kitabındaki 16. Uygulamada düzgün altıgen, düzgün sekizgen ve düzgün onikigen:

**merkezden köşelere çizilen doğrularla eş ikizkenar üçgenlere ayrılır.**

n kenarlı düzgün çokgende merkezde oluşan eş açılar:

**360° / n**

ölçüsündedir.

Alan, bu eş üçgenlerden birinin alanı bulunup n ile çarpılarak hesaplanır.

27. Merkez Açısı

n kenarlı düzgün çokgenin merkezi ile ardışık iki köşesi birleştirildiğinde merkez açısı:

**360° / n**

olur.

28. Sinüs Alan Formülünün Kullanılması

MEB kitabındaki alan örneklerinde merkezden oluşan ikizkenar üçgenlerde sinüs alan formülü kullanılır.

Eşit iki kenar R ve aralarındaki merkez açısı θ ise üçgen alanı:

**(1/2) · R · R · sinθ**

olarak hesaplanır.

Daha sonra bulunan üçgen alanı, eş üçgen sayısıyla çarpılır.

29. Düzgün Sekizgen Alan Örneği

MEB kitabındaki örnekte düzgün sekizgende AC = 10 cm verilmiştir.

AOC üçgeni ikizkenar dik üçgendir ve:

**OA = OC = 5√2 cm**

bulunur.

Merkezde ardışık iki köşeye ait açı:

**45°**

olduğundan bir merkez üçgeninin alanı hesaplanır ve sekizle çarpılır.

Sonuç:

**Düzgün sekizgen alanı = 100√2 cm²**

30. Düzgün Onikigen Alan Örneği

MEB kitabındaki örnekte düzgün onikigenin birbirine en uzak iki noktası arasındaki mesafe 16 metredir.

Bu en uzun köşegen olduğundan merkezden köşeye uzaklık:

**8 metre**

olur.

Merkez açı:

**360 / 12 = 30°**

Düzgün onikigen 12 eş ikizkenar üçgene ayrılır.

Bir üçgenin alanı:

(1/2) · 8 · 8 · sin30° = 16

olduğundan toplam alan:

12 · 16 = **192 m²**

31. Düzgün Altıgenin Köşegenleri

MEB kitabında bir kenar uzunluğu **a** olan düzgün altıgen için köşegen uzunlukları incelenir.

Kontrol Noktasındaki görsellerde:

• en uzun köşegen: **2a**
• diğer köşegen türü: **a√3**

olarak gösterilir.

32. Düzgün Altıgenin Alanı

Düzgün altıgen merkezden köşelere ayrıldığında 6 eş üçgen oluşur.

Merkez açı:

**360 / 6 = 60°**

Bir kenar uzunluğu a olduğunda düzgün altıgenin merkeziyle köşeleri arasındaki uzunluk da bu yapı içinde kullanılarak alan üçgensel parçalardan hesaplanır.

Alan:

**6 · (√3/4)a² = (3√3/2)a²**

biçimindedir.

Bu, MEB kitabındaki düzgün çokgen alan yönteminin düzgün altıgene uygulanmasıdır.

33. Düzgün Altıgende Alan Bölgeleri

MEB Kontrol Noktasında düzgün altıgenin köşegenlerle ayrılan bazı bölgeleri:

**A, 2A ve 3A**

alanlarıyla ilişkilendirilir.

Bu tür sorularda alanların oranları, eş ve benzer üçgensel bölgeler üzerinden yorumlanır.

34. Düzgün Beşgende Köşegen Özelliği

MEB kitabındaki 13. Örnek çözümünde:

**Düzgün beşgenin bütün köşegen uzunluklarının eşit olduğu**

kullanılır.

Bu özellik, düzgün beşgen içindeki ikizkenar üçgenlerin kurulmasına yardımcı olur.

35. Düzgün Altıgende En Uzun Köşegen

MEB kitabındaki 14. Örnekte:

**Düzgün altıgende en uzun köşegen uzunluğu bir kenar uzunluğunun iki katıdır.**

Bu nedenle kenar uzunluğu a ise en uzun köşegen:

**2a**

olur.

36. Dışbükey Çokgenlerde Gerçek Yaşam Bağlamı

MEB kitabı dışbükey çokgenleri:

• futbol antrenmanı,
• ongen biçimli pasta,
• sürücüsüz araba,
• mimari,
• uçurtma,
• çadır,
• kümbet

gibi bağlamlarla ilişkilendirir.

Bu sorularda temel bağıntıların gerçek yaşam durumuna aktarılması beklenir.

37. Ongen Biçimindeki Pasta

Kitaptaki ongen pasta örneğinde:

• bir köşeden en fazla 7 köşegen çizilebilir,
• bu köşegenlerle 8 üçgen oluşur,
• iç açı toplamı 1440°,
• dış açı toplamı 360°

sonuçlarına ulaşılır.

Bu örnek n kenarlı çokgen bağıntılarını doğrudan uygular.

38. Sürücüsüz Araba Örneğinin Temel Düşüncesi

Kitaptaki sürücüsüz araba örneğinde aracın aynı yönde yaptığı dönüşler ve sonunda kapalı bir dışbükey çokgen oluşturması dış açı toplamı düşüncesine bağlanır.

Bu tür sorularda:

**Toplam dış dönüş = 360°**

fikri kullanılır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• bir köşeden köşegen sayısı / oluşan üçgen sayısı
• n - 3 / n - 2
• iç açı toplamı / dış açı toplamı
• dış açı toplamının kenar sayısından bağımsız olması
• düzgün çokgen / yalnız eşkenarlı çokgen
• bir iç açı / iç açılar toplamı
• bir dış açı / dış açılar toplamı
• merkez açısı / iç açı
• tek kenar sayılı düzgün çokgen / çift kenar sayılı düzgün çokgen simetrisi
• düzgün altıgende a√3 / 2a köşegenleri
• köşegen uzunluğu / kenar uzunluğu
• alanı bir eş üçgenden bulma / bütün alan

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Çokgenin kenar sayısı n'yi belirle.
2. Bir köşeden köşegen soruluyorsa n - 3 kullan.
3. Bir köşeden oluşan üçgen sayısı soruluyorsa n - 2 kullan.
4. İç açılar toplamı için (n - 2)·180° kullan.
5. Dış açılar toplamı için doğrudan 360° kullan.
6. Çokgen düzgünse bir dış açı için 360°/n kullan.
7. Düzgün çokgende bir iç açı için 180° - 360°/n kullan.
8. İç veya dış açı verilmişse kenar sayısını denklem kurarak bul.
9. Simetri sorusunda kenar sayısının tek mi çift mi olduğuna dikkat et.
10. Çift kenarlı düzgün çokgende en uzun köşegenin simetri ekseni ve açıortay olduğunu hatırla.
11. Alan sorusunda çokgeni merkezden eş ikizkenar üçgenlere ayır.
12. Merkez açısını 360°/n ile bul.
13. Bir üçgenin alanını hesapla ve kenar sayısıyla çarp.
14. Düzgün altıgende en uzun köşegen için 2a, diğer temel köşegen için a√3 değerini hatırla.

Konu Özeti

**n kenarlı dışbükey çokgen**

• bir köşeden köşegen: n - 3
• üçgen sayısı: n - 2
• iç açı toplamı: (n - 2)·180°
• dış açı toplamı: 360°

**n kenarlı düzgün çokgen**

• bütün kenarlar eşit
• bütün iç açılar eşit
• bir iç açı: [(n - 2)·180°]/n
• eşdeğer biçim: 180° - 360°/n
• bir dış açı: 360°/n
• merkez açı: 360°/n

**Simetri**

• çift kenarlı düzgün çokgen → en uzun köşegen simetri ekseni ve açıortay
• çift kenarlı düzgün çokgen → karşılıklı kenarlar paralel
• tek kenarlı düzgün çokgen → köşeden karşı kenara çizilen iç açıortay simetri ekseni

**Alan**

• merkezden eş üçgenlere ayır
• bir üçgen alanını bul
• n ile çarp

**Düzgün altıgen**

• köşegenler: a√3 ve 2a
• en uzun köşegen: 2a

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• n kenarlı dışbükey çokgende bir köşeden çizilen köşegen sayısını bulabilmelisin.
• bu köşegenlerle oluşan üçgen sayısını belirleyebilmelisin.
• iç ve dış açı toplamlarını hesaplayabilmelisin.
• düzgün çokgenin bir iç ve bir dış açısını bulabilmelisin.
• açı ölçüsünden düzgün çokgenin kenar sayısını belirleyebilmelisin.
• tek ve çift kenar sayılı düzgün çokgenlerin simetri özelliklerini ayırt edebilmelisin.
• düzgün çokgen alanını eş merkez üçgenlerine ayırarak hesaplayabilmelisin.
• düzgün altıgenin temel köşegen uzunluklarını kullanabilmelisin.