Dörtgenlerin Özellikleri Konu Anlatımı

Dörtgenlerin Özellikleri

Konuya Giriş

Dörtgenlerin Özellikleri konusu, MEB 11. Sınıf Matematik kitabının **Geometrik Şekiller** temasında yer alır. Bu başlıkta dörtgenlerin yalnız adları değil; açı, kenar, köşegen, simetri ve alan özellikleri üçgenlerde öğrenilen açı, benzerlik ve alan bilgileriyle ilişkilendirilerek incelenir.

Kitapta dörtgenler önce içbükey ve dışbükey olarak ayrılır; ardından dörtgen, yamuk, ikizkenar yamuk, dik yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid üzerinden özellikler genellenir. Dörtgenlerde açıortaylarla oluşan özel açı bağıntıları, kenar ve köşegen özellikleri, simetri eksenleri ve alan bağıntıları da bu konunun kapsamındadır.

1. İçbükey ve Dışbükey Dörtgen

MEB kitabında dörtgenler görünüşlerine ve köşegenlerinin konumuna göre içbükey ve dışbükey olarak ayrılır.

**Dışbükey dörtgen:**

• her bir iç açısının ölçüsü 180 dereceden küçüktür,
• köşegenleri dörtgenin iç bölgesinde kalır.

**İçbükey dörtgen:**

• iç açılarından en az birinin ölçüsü 180 dereceden büyüktür,
• köşegenlerinden biri dörtgenin dış bölgesinde kalabilir.

2. Dörtgenin İç Açıları Toplamı

Bir dörtgen bir köşegeni çizilerek iki üçgene ayrılabilir. Her üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğundan dörtgenin iç açıları toplamı:

**360 derece**

olur.

3. Dörtgenin Dış Açıları Toplamı

Dörtgenin birer dış açısının ölçüleri toplamı da:

**360 derece**

olur.

4. Özel Dörtgenlerde Açı Özellikleri

MEB kitabında dörtgen, yamuk, ikizkenar yamuk, dik yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare için açı özellikleri karşılaştırılır.

Özellikle:

• paralelkenarda karşılıklı iç açıların ölçüleri eşittir,
• paralelkenarda komşu iç açılar bütünlerdir,
• dikdörtgende bütün iç açılar 90 derecedir,
• karede bütün iç açılar 90 derecedir.

Dikdörtgen ve karede dört açının da eşit olması, iç açı toplamının 360 derece olmasıyla birlikte her bir açının 90 derece olmasını gerektirir.

5. Komşu İki İç Açının Açıortayları

MEB kitabında bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının kesişmesiyle oluşan açının ölçüsüne ilişkin şu önerme verilir:

**Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının kesişimiyle oluşan açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.**

ABCD dörtgeninde A ve B açıları ortalanıyor ve açıortaylar E noktasında kesişiyorsa:

**m(AEB) = [m(C) + m(D)] / 2**

6. Karşı İki İç Açının Açıortayları

MEB kitabındaki ikinci açıortay önermesi:

**Bir dörtgende karşı iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu dar açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.**

A ve C karşı açıları için:

**dar açı = |m(A) - m(C)| / 2**

veya hangi iki karşı açı ortalanıyorsa, önerme uygun biçimde uygulanır.

7. Dörtgenlerde Kenar Özellikleri

MEB kitabında dörtgen türleri kenar uzunlukları, paralellik ve diklik açısından karşılaştırılır.

Önemli özellikler:

• paralelkenarda karşılıklı kenarlar paralel ve eşit uzunluktadır,
• eşkenar dörtgende bütün kenar uzunlukları eşittir,
• dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit ve paraleldir,
• karede bütün kenarlar eşit, karşılıklı kenarlar paralel ve komşu kenarlar diktir,
• ikizkenar yamukta yan kenarlar eşittir.

Bu özellikler özel dörtgenleri ayırt etmeyi sağlar.

8. Yamuğun Orta Tabanı

ABCD yamuğunda AB ve DC tabanlar; E ve F yan kenarların orta noktaları olsun.

E ile F'yi birleştiren doğru parçasının uzunluğu:

**EF = (AB + DC) / 2**

olur.

9. Dörtgenlerde Köşegen Özellikleri

MEB kitabında köşegenler şu yönlerden incelenir:

• köşegen uzunluklarının eşit olup olmadığı,
• birbirlerini ortalayıp ortalamadığı,
• dik kesişip kesişmediği,
• açıortay olup olmadığı,
• simetri ekseni olup olmadığı.

Bu özellikler her dörtgen türünde aynı değildir.

10. Paralelkenarın Köşegenleri

Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.

Köşegenlerin kesişim noktası E ise:

**AE = EC** **BE = ED**

11. İkizkenar Yamuğun Köşegenleri

İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir:

**AC = BD**

Ayrıca yan kenarlar eşittir.

12. Eşkenar Dörtgenin Köşegenleri

Eşkenar dörtgende:

• köşegenler birbirini ortalar,
• köşegenler dik kesişir,
• köşegenler ilgili köşe açılarını ortalar,
• köşegenler simetri eksenidir.

13. Dikdörtgenin Köşegenleri

Dikdörtgende:

• köşegen uzunlukları eşittir,
• köşegenler birbirini ortalar.

Yani: **AC = BD** ve kesişim noktası E ise **AE = EC = BE = ED** olur.

14. Karenin Köşegenleri

Kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerini birlikte taşır.

Karenin köşegenleri:

• eşit uzunluktadır,
• birbirini ortalar,
• dik kesişir,
• köşe açılarını ortalar,
• simetri eksenidir.

Karede her iç açı 90 derece olduğundan köşegenler ilgili köşe açılarını 45'er derecelik iki açıya ayırır.

15. Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgen

MEB kitabında verilen önerme:

**Köşegenleri dik kesişen herhangi bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.**

Uygun adlandırmada:

**a² + b² = c² + d²**

biçiminde ifade edilir.

Bu önerme Pisagor bağıntısından yararlanılarak doğrulanabilir.

16. Dörtgenlerde Simetri

MEB kitabında dörtgenlerin simetri eksenleri incelenir.

Öne çıkan sonuçlar:

• eşkenar dörtgenin köşegenleri simetri eksenidir,
• karenin köşegenleri simetri eksenidir,
• karenin karşılıklı kenarlarının orta noktalarından geçen doğrular da simetri eksenidir,
• dikdörtgenin karşılıklı paralel kenarlarının orta noktalarından geçen iki simetri ekseni vardır,
• ikizkenar yamuğun bir simetri ekseni vardır,
• genel paralelkenarın simetri ekseni yoktur.

17. Karenin Simetri Eksenleri

Karenin toplam dört simetri ekseni bulunur:

• iki köşegen,
• karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen iki doğru.

18. Eşkenar Dörtgen ve Simetri

Eşkenar dörtgende iki köşegen simetri eksenidir.

Kitaptaki örnekte kenarlar 5 cm ve simetri eksenlerinden biri 6 cm olduğunda şeklin kare olmadığı belirlenerek eşkenar dörtgen sonucuna ulaşılır.

19. Dörtgenin Genel Alan Bağıntısı

ABCD dörtgeninde köşegenler AC ve BD, köşegenler arasındaki açı α ise MEB kitabında alan bağıntısı:

**A(ABCD) = (1/2) · AC · BD · sin α**

olarak verilir.

Bu bağıntı dörtgenin iki üçgene ayrılması ve üçgende alan bilgisinden yararlanılarak elde edilir.

20. Köşegenler Dikse Alan

Köşegenler dik kesişiyorsa α = 90 derece ve sin90 = 1 olur.

Bu durumda:

**A = (1/2) · d₁ · d₂**

21. Köşegenlerin Oluşturduğu Dört Üçgen

Bir dörtgenin köşegenleri kesiştiğinde dört üçgensel bölge oluşur.

MEB kitabında bu bölgeler için karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımının eşit olduğu kullanılır:

**S₁ · S₃ = S₂ · S₄**

Bu ilişki, köşegenlerin oluşturduğu alan problemlerinde kullanılabilir.

22. Paralelkenarın Alanı

MEB kitabında paralelkenar için:

**A(ABCD) = AB · AD · sin α**

ve yükseklikler kullanılarak:

**A = taban · yükseklik**

biçimleri kullanılır.

23. Yamuğun Alanı

AB ve DC paralel tabanlar, h yükseklik olmak üzere:

**A(ABCD) = [(AB + DC) / 2] · h**

Yani yamuğun alanı, orta taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

24. Deltoid

MEB kitabında deltoid, bir üçgenin bir kenarına göre simetriğinin alınması üzerinden oluşturulur.

Kontrol noktasındaki temel özellikler:

• **CD = CB**
• **AD = AB**
• köşegenler diktir,
• bir köşegen diğerini ortalar,
• AC köşegeni simetri eksenidir,
• simetri ekseni olan köşegen ilgili köşe açılarını ortalar.

25. Deltoidin Alanı

Deltoidin köşegenleri dik olduğu için alanı:

**A = (1/2) · AC · BD**

şeklindedir.

Bu, dik kesişen köşegenli dörtgen alan bağıntısının özel bir uygulamasıdır.

26. İkizkenar Yamuğun Temel Özellikleri

Kontrol noktasında ikizkenar yamuk için:

• bir çift karşılıklı kenar paraleldir,
• yan kenarlar eşittir,
• köşegenler eşittir.

Bu özellikler ikizkenar yamuğu genel yamuktan ayırır.

27. Paralelkenarın Temel Özellikleri

Kontrol noktasında paralelkenar için:

• karşılıklı açılar eşittir,
• komşu açılar bütünlerdir,
• köşegenler birbirini ortalar.

Kenar özelliklerinde de karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir.

28. Dikdörtgenin Temel Özellikleri

Dikdörtgende:

• bütün açılar 90 derecedir,
• karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir,
• köşegenler eşittir,
• köşegenler birbirini ortalar.

29. Karenin Temel Özellikleri

Karede:

• bütün kenarlar eşittir,
• bütün açılar 90 derecedir,
• köşegenler eşittir,
• köşegenler diktir,
• köşegenler birbirini ortalar,
• köşegenler açıortaydır,
• köşegenler simetri eksenidir.

30. Problem Çözerken Özellik Seçimi

Dörtgen sorularında her bilgiyi aynı anda kullanmak gerekmez. Verilen koşula göre doğru özelliği seçmek önemlidir.

Örneğin:

• iç açılar verildiyse 360 derece toplamı,
• komşu açıortaylar verildiyse diğer iki açının toplamının yarısı,
• karşı açıortaylar verildiyse diğer iki açının farkının yarısı,
• yamuğun orta noktaları verildiyse orta taban,
• köşegenler dikse alan veya kenar kareleri bağıntısı,
• simetri ekseni verildiyse eşleşen uzunluk ve açı özellikleri

ön plana çıkar.

Sık Karıştırılan Noktalar

• içbükey / dışbükey dörtgen
• iç açı toplamı / dış açı toplamı
• komşu açıortay / karşı açıortay
• paralelkenarda köşegenlerin eşitliği / birbirini ortalaması
• dikdörtgende köşegenlerin eşitliği
• eşkenar dörtgende köşegenlerin dikliği
• karede köşegenlerin hem eşit hem dik olması
• ikizkenar yamuk / genel yamuk
• simetri ekseni / açıortay
• genel dörtgen alanı / dik köşegenli dörtgen alanı
• yamuk orta tabanı / yamuk alanı
• deltoidde eş kenarlar / karşılıklı kenarlar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Dörtgenin içbükey mi dışbükey mi olduğuna bak.
2. İç açı toplamı gerekiyorsa 360 dereceyi kullan.
3. Dış açı toplamı gerekiyorsa 360 dereceyi kullan.
4. Komşu iç açıların açıortaylarında diğer iki açının toplamını ikiye böl.
5. Karşı iç açıların açıortaylarında diğer iki açının farkının mutlak değerini ikiye böl.
6. Paralelkenarda karşılıklı kenar ve açı eşitliklerini, köşegenlerin birbirini ortalamasını kullan.
7. Dikdörtgende eşit köşegen özelliğini hatırla.
8. Eşkenar dörtgende dik köşegen ve açıortay özelliklerini kullan.
9. Karede dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerinin birlikte bulunduğunu unutma.
10. Yamukta orta taban için tabanların toplamının yarısını kullan.
11. Alan için köşegenler ve aralarındaki açı verildiyse A = (1/2)d₁d₂sinα bağıntısını kullan.
12. Köşegenler dikse sin90 = 1 olduğundan alanı doğrudan köşegenler çarpımının yarısı olarak bul.
13. Köşegenlerin oluşturduğu dört üçgende karşılıklı alanların çarpımlarını eşitle.
14. Deltoidde simetri ekseni olan köşegeni ve dik köşegenleri kullan.

Konu Özeti

**Dışbükey dörtgen**

• bütün iç açılar 180 dereceden küçük,
• köşegenler iç bölgede.

**İçbükey dörtgen**

• en az bir iç açı 180 dereceden büyük,
• bir köşegen dış bölgede kalabilir.

**Açılar**

• iç açı toplamı = 360 derece
• dış açı toplamı = 360 derece
• komşu açıortaylar → diğer iki açının toplamının yarısı
• karşı açıortaylar → diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısı

**Kenar / köşegen**

• paralelkenar → karşılıklı kenarlar eşit-paralel, köşegenler birbirini ortalar
• ikizkenar yamuk → yan kenarlar ve köşegenler eşit
• dikdörtgen → köşegenler eşit ve birbirini ortalar
• eşkenar dörtgen → köşegenler dik, birbirini ortalar ve açıortaydır
• kare → eşit + dik köşegen, açıortay ve simetri ekseni

**Alan**

• dörtgen → (1/2)d₁d₂sinα
• dik köşegenli dörtgen → (1/2)d₁d₂
• yamuk → [(a+b)/2]h
• paralelkenar → ab·sinα veya taban·yükseklik
• deltoid → (1/2)d₁d₂

**Deltoid**

• iki çift komşu eş kenar,
• dik köşegen,
• bir köşegen diğerini ortalar,
• bir köşegen simetri ekseni.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• içbükey ve dışbükey dörtgenleri ayırt edebilmelisin.
• dörtgenin iç ve dış açı toplamlarını kullanabilmelisin.
• açıortaylarla oluşan iki temel bağıntıyı uygulayabilmelisin.
• yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoidin temel özelliklerini ayırt edebilmelisin.
• köşegenlerin eşitlik, diklik, ortalama ve açıortay özelliklerini doğru dörtgenle eşleştirebilmelisin.
• simetri eksenlerini yorumlayabilmelisin.
• dörtgen alanını köşegenler ve aralarındaki açıyla hesaplayabilmelisin.
• yamuk, paralelkenar ve deltoid alan bağıntılarını kullanabilmelisin.
• köşegenlerin oluşturduğu üçgensel bölgeler arasındaki alan ilişkisini uygulayabilmelisin.