Özel Dörtgenler Arasındaki İlişkiler Konu Anlatımı

Özel Dörtgenler Arasındaki İlişkiler

Konuya Giriş

Özel dörtgenler yalnız birbirinden ayrı şekiller olarak değil, ortak özellikleri ve birbirlerini kapsayan ilişkileriyle birlikte incelenir. MEB kitabında kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenar, yamuk ve deltoid gibi dörtgenlerin kenar, açı, köşegen ve simetri özellikleri karşılaştırılır. Bu karşılaştırmalar sonucunda bazı özel dörtgenlerin başka özel dörtgenlerin bütün özelliklerini taşıdığı ve onlara ek özellikler kazandığı görülür.

Bu nedenle özel dörtgenler arasında **genelden özele doğru bir hiyerarşi** kurulabilir. Örneğin kare hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin özelliklerini taşır. Eşkenar dörtgen ise hem paralelkenarla hem deltoidle ilişkilidir.

1. Özel Dörtgenleri Karşılaştırmada Kullanılan Özellikler

MEB kitabındaki 11. Uygulama'da özel dörtgenler şu özellikler üzerinden karşılaştırılır:

• karşılıklı açıların eşitliği,
• bütün açıların eşitliği,
• paralel kenarlar,
• karşılıklı kenarların paralelliği,
• karşılıklı kenar uzunluklarının eşitliği,
• bütün kenar uzunluklarının eşitliği,
• köşegenlerin birbirini ortalaması,
• köşegenlerin dikliği,
• köşegen uzunluklarının eşitliği,
• köşegenlerin simetri ekseni olması,
• simetri ekseni bulunup bulunmaması,
• köşegenlerin açıortay olması.

Bu özellikler, özel dörtgenler arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları ortaya çıkarır.

2. Genelden Özele Hiyerarşi

Kitaptaki şema, özel dörtgenleri genelden özele doğru ilişkilendirir.

Ana ilişki zincirlerinden biri:

**Dörtgen → Yamuk → Paralelkenar → Dikdörtgen → Kare**

Bir diğer zincir:

**Dörtgen → Yamuk → Paralelkenar → Eşkenar Dörtgen → Kare**

Deltoid kolunda ise:

**Dörtgen → Deltoid → Eşkenar Dörtgen → Kare**

şeklinde ilişkiler görülür.

3. Yamuğun Hiyerarşideki Yeri

MEB kitabındaki sınıflandırma anlayışında yamuk, en az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgenleri kapsayacak biçimde ele alınır.

Bu nedenle:

• paralelkenar bir yamuktur,
• dikdörtgen bir yamuktur,
• eşkenar dörtgen bir yamuktur,
• kare bir yamuktur.

Kitaptaki 10. Örnek'te **“Her eşkenar dörtgen aynı zamanda bir yamuktur.”** ifadesi doğru kabul edilmiştir.

4. Paralelkenar ile Diğer Dörtgenler

Paralelkenarın temel özellikleri:

• karşılıklı kenarlar paraleldir,
• karşılıklı kenarlar eşittir,
• köşegenler birbirini ortalar,
• karşılıklı açılar eşittir,
• komşu açılar bütünlerdir.

Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenarın daha özel hâlleridir. Kare ise hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen olduğu için paralelkenarın bütün özelliklerini taşır.

5. Eşkenar Dörtgen ile Paralelkenar İlişkisi

MEB kitabında şu ilişki doğrudan verilir:

**“Eşkenar dörtgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan bir paralelkenardır.”**

Yani eşkenar dörtgen:

• paralelkenarın bütün özelliklerini taşır,
• buna ek olarak bütün kenarları eşittir.

6. Eşkenar Dörtgen ile Deltoid İlişkisi

Kitapta verilen diğer doğrudan ilişki:

**“Eşkenar dörtgen, karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit olan bir deltoiddir.”**

Deltoid iki çift komşu eş kenara sahiptir. Eşkenar dörtgende dört kenarın tamamı eşit olduğundan deltoid koşullarını da sağlar.

Bu nedenle:

• her eşkenar dörtgen deltoiddir,
• ancak her deltoid eşkenar dörtgen değildir.

7. Kare ile Dikdörtgen İlişkisi

Karede bütün açılar 90 derecedir ve karşılıklı kenarlar paraleldir. Bu nedenle kare, dikdörtgenin bütün özelliklerini taşır.

Buna ek olarak karenin bütün kenarları da eşittir.

Sonuç:

**Her kare bir dikdörtgendir.**

Ancak her dikdörtgenin bütün kenarları eşit olmak zorunda olmadığı için:

**Her dikdörtgen kare değildir.**

8. Kare ile Eşkenar Dörtgen İlişkisi

Karede bütün kenarlar eşittir. Bu nedenle kare, eşkenar dörtgenin bütün kenar özelliklerini taşır.

Ayrıca karede bütün açılar 90 derecedir.

Sonuç:

**Her kare bir eşkenar dörtgendir.**

Ancak eşkenar dörtgenin bütün açıları 90 derece olmak zorunda değildir. Bu nedenle her eşkenar dörtgen kare değildir.

9. Kare ile Deltoid İlişkisi

MEB kitabındaki 10. Örnek'te:

**“Her kare aynı zamanda bir deltoiddir.”**

ifadesi doğru kabul edilmiştir.

Karede bütün kenarlar eşit olduğundan deltoidin iki çift komşu eş kenar koşulu da sağlanır.

10. Kare Neden En Özel Dörtgenlerden Biridir?

Kitaptaki genelden özele şemada kare alt basamakta yer alır. Bunun nedeni, birden fazla özel dörtgenin özelliklerini aynı anda taşımasıdır.

Kare:

• dikdörtgenin 90 derecelik açılarını,
• eşkenar dörtgenin eşit kenarlarını,
• paralelkenarın paralel ve eşit karşılıklı kenarlarını,
• deltoidin komşu eş kenarlarını,
• yamuğun paralel kenar koşulunu

birlikte sağlar.

Bu nedenle kitapta **“Kare, dörtgenlerin en genel hâlidir.”** ifadesi yanlış kabul edilmiştir.

11. Dikdörtgen ile Paralelkenar İlişkisi

Dikdörtgen:

• karşılıklı kenarları paralel,
• karşılıklı kenarları eşit,
• köşegenleri birbirini ortalayan

bir paralelkenardır.

Buna ek olarak bütün açıları 90 derecedir.

Bu nedenle:

• her dikdörtgen paralelkenardır,
• her paralelkenar dikdörtgen değildir.

12. Eşkenar Dörtgen ile Kare Arasındaki Fark

Her kare eşkenar dörtgendir; ancak her eşkenar dörtgen kare değildir.

MEB kitabındaki 10. Örnek'te:

**“Eşkenar dörtgenin tüm açı ölçüleri birbirinden farklıdır.”**

ifadesi yanlış kabul edilmiştir. Eşkenar dörtgende karşılıklı açılar eşittir. Kare olması için ise bütün açıların 90 derece olması gerekir.

13. Dikdörtgenin Köşegenleri ve Kareyle Farkı

Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve birbirini ortalar. Ancak MEB kitabındaki 10. Örnek'te:

**“Bir dikdörtgenin köşegenleri her zaman açıortaydır.”**

ifadesi yanlış kabul edilmiştir.

Karede ise köşegenler açıortay özelliğine de sahiptir.

14. Yamuğun Kenarları Eşit Olabilir mi?

MEB kitabındaki 10. Örnek'te:

**“Yamuğun iki kenar uzunluğu birbirine eşit olabilir.”**

ifadesi doğru kabul edilmiştir.

Bu durum, özel yamuk türleriyle de uyumludur. Bir şeklin yamuk olması, hiçbir kenarının eşit olamayacağı anlamına gelmez.

15. Paralelkenarı Tanımada Birleşik Özellikler

Kitaptaki eşleştirme etkinliğinde şu ifadeler paralelkenarla ilişkilendirilir:

• karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgen,
• karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve köşegenleri birbirini ortalayan dörtgen,
• dikdörtgenin kenar özelliklerini taşıyan ancak iç açı ölçüleri 90 derece olmayan dörtgen.

Bu ifadeler, paralelkenarın diğer özel dörtgenlerle ortak ve ayırıcı yönlerini gösterir.

16. Eşkenar Dörtgeni Tanımada Birleşik Özellikler

Kitaptaki eşleştirme etkinliğinde eşkenar dörtgeni belirleyen ifadeler arasında:

• köşegenleri birbirini dik ortalayan dörtgen,
• bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olup köşegen uzunlukları birbirine eşit olmayan dörtgen

bulunur.

Burada ikinci ifade kareyi dışarıda bırakır; çünkü karede köşegenler eşittir.

17. Deltoidin Hiyerarşideki Yeri

Deltoid, özel dörtgenler hiyerarşisinde ayrı bir koldadır. Eşkenar dörtgen, deltoidin daha özel bir hâli olarak bu kolla paralelkenar kolunu birleştirir.

Bu nedenle eşkenar dörtgen iki farklı üst sınıfla ilişki kurar:

• paralelkenar,
• deltoid.

Bu, özel dörtgenlerin basit tek bir zincirden değil, ortak özelliklerin kesişimlerinden oluşan bir yapı olduğunu gösterir.

18. Hiyerarşinin Kesişen Yapısı

Kitaptaki şema bir ağaçtan çok, bazı kolların birleştiği bir ilişki ağıdır.

Örneğin:

• eşkenar dörtgen hem paralelkenardan hem deltoidden gelir,
• kare hem dikdörtgenden hem eşkenar dörtgenden gelir.

19. İkizkenar Yamuk ve Dik Yamuk

MEB kitabında ikizkenar yamuk ve dik yamuk, özellik karşılaştırma tablolarında yer alır. Ancak genelden özele ana şemada kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenar, yamuk ve deltoid arasındaki temel kapsama ilişkileri öne çıkarılır.

Bu nedenle sorularda önce verilen özelliğin hangi ana özel dörtgen sınıfını tanımladığına dikkat edilmelidir.

20. 10. Örnekteki Doğru ve Yanlış İfadeler

Kitaptaki örnekte altı ifade değerlendirilir.

Doğru kabul edilenler:

• Her kare aynı zamanda bir deltoiddir.
• Her eşkenar dörtgen aynı zamanda bir yamuktur.
• Yamuğun iki kenar uzunluğu birbirine eşit olabilir.

Yanlış kabul edilenler:

• Kare, dörtgenlerin en genel hâlidir.
• Eşkenar dörtgenin tüm açı ölçüleri birbirinden farklıdır.
• Bir dikdörtgenin köşegenleri her zaman açıortaydır.

21. Alıştırmadaki Özellik Karşılaştırmaları

MEB kitabındaki alıştırmada özel dörtgenler şu sorularla karşılaştırılır:

• karşılıklı kenarları paralel olanlar,
• tüm açıları eşit olanlar,
• karşılıklı açıları eşit olanlar,
• tüm kenarları eşit olanlar,
• karşılıklı kenarları eşit olanlar,
• köşegen uzunlukları eşit olanlar,
• en az bir köşegeni açıortay olanlar,
• en az bir köşegeni simetri ekseni olanlar.

Bu sorular, bir özelliğin tek bir dörtgene değil birden fazla özel dörtgene ait olabileceğini gösterir.

22. Özellikten Sınıfa, Sınıftan Özelliğe Düşünme

Bu konuda iki yönlü düşünmek gerekir.

**Özellikten sınıfa:** “Karşılıklı kenarlar paralel ve köşegenler birbirini ortalıyor.” → paralelkenar ailesi

**Sınıftan özelliğe:** “Kare” → dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenar, yamuk ve deltoid özelliklerini de taşır.

Bu iki yönlü düşünme, hiyerarşi sorularında hata yapmayı azaltır.

23. Ters İfadeye Dikkat

Bir kapsama ilişkisi genellikle tek yönlüdür.

Örneğin:

• Her kare dikdörtgendir. → doğru
• Her dikdörtgen karedir. → yanlış

Benzer biçimde:

• Her eşkenar dörtgen paralelkenardır. → doğru
• Her paralelkenar eşkenar dörtgendir. → yanlış

24. Oyun Etkinliğindeki Sınıflandırma Mantığı

Kitaptaki alıştırmada oyuncular, belirli dörtgen özelliklerini sağlayan tüm şekilleri yazmaktadır.

Bu etkinlikte:

• yamuk özelliklerini sağlayan puanlı şekiller: paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare,
• paralelkenar özelliklerini sağlayan puanlı şekiller: paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare,
• deltoid özelliklerini sağlayan puanlı şekiller: deltoid, eşkenar dörtgen ve kare,
• hem eşkenar dörtgen hem dikdörtgen özelliklerini birlikte sağlayan şekil: kare

olarak düşünülür.

Bu etkinlik, hiyerarşik kapsama ilişkilerinin somut bir uygulamasıdır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• her kare dikdörtgendir / her dikdörtgen kare değildir
• her kare eşkenar dörtgendir / her eşkenar dörtgen kare değildir
• her eşkenar dörtgen paralelkenardır / her paralelkenar eşkenar dörtgen değildir
• her eşkenar dörtgen deltoiddir / her deltoid eşkenar dörtgen değildir
• her eşkenar dörtgen yamuktur
• kare en genel değil, daha özel bir dörtgendir
• dikdörtgenin köşegenleri eşittir fakat her zaman açıortay değildir
• eşkenar dörtgenin karşılıklı açıları eşittir
• yamukta iki kenar eşit olabilir
• eşkenar dörtgen hem paralelkenar hem deltoid kolunda yer alır
• kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen kolunun kesişimidir

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Verilen şeklin hangi temel özellikleri taşıdığını belirle.
2. Hiyerarşide yukarı doğru çık: şeklin hangi daha genel sınıflara ait olduğunu yaz.
3. Hiyerarşide aşağı doğru inerken ek koşulları kontrol et.
4. “Her ...” biçimindeki ifadelerde yönü ters çevirmemeye dikkat et.
5. Kare için dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerini birlikte düşün.
6. Eşkenar dörtgen için hem paralelkenar hem deltoid bağlantısını düşün.
7. Yamuk sınıflandırmasında kitabın kapsayıcı yaklaşımını kullan.
8. Köşegen özelliği verilmişse eşitlik, diklik, ortalama ve açıortay özelliklerini ayrı ayrı kontrol et.
9. Bir ifadenin tek bir dörtgene değil birden fazla sınıfa ait olabileceğini unutma.
10. Karşı örnek isteniyorsa daha genel sınıfta olup özel koşulu sağlamayan bir şekil seç.

Konu Özeti

**Ana hiyerarşi:**

• Dörtgen → Yamuk → Paralelkenar
• Paralelkenar → Dikdörtgen
• Paralelkenar → Eşkenar dörtgen
• Dörtgen → Deltoid → Eşkenar dörtgen
• Dikdörtgen + Eşkenar dörtgen → Kare

**Kesin ilişkiler:**

• Her kare dikdörtgendir.
• Her kare eşkenar dörtgendir.
• Her kare deltoiddir.
• Her kare paralelkenardır.
• Her eşkenar dörtgen paralelkenardır.
• Her eşkenar dörtgen deltoiddir.
• Her eşkenar dörtgen yamuktur.
• Her dikdörtgen paralelkenardır.

**Tersleri zorunlu değildir.**

**Kitabın 10. Örneği:** Doğru → I, III, V Yanlış → II, IV, VI

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• özel dörtgenleri açı, kenar, köşegen ve simetri özelliklerine göre karşılaştırabilmelisin.
• özel dörtgenler arasındaki genelden özele hiyerarşiyi okuyabilmelisin.
• bir karenin hangi üst sınıflara ait olduğunu belirleyebilmelisin.
• eşkenar dörtgenin paralelkenar ve deltoidle ilişkisini açıklayabilmelisin.
• doğru bir kapsama ilişkisinin tersinin neden her zaman doğru olmadığını açıklayabilmelisin.
• verilen özelliklerden uygun özel dörtgeni belirleyebilmelisin.
• kitabın 10. Örneğindeki doğru ve yanlış ifadeleri gerekçelendirebilmelisin.
• hiyerarşi ve puanlama etkinliği türündeki soruları çözebilmelisin.