9. Sınıf Matematik: Öteleme – Konu Anlatımı

Öteleme

Öteleme, bir şeklin veya noktanın düzlem üzerinde **aynı yönde ve aynı miktarda taşınmasıdır**. Ötelemede şeklin biçimi, büyüklüğü ve yönlenişi değişmez; yalnızca bulunduğu konum değişir.

Bir şekli ötelemek için şeklin her noktasına aynı hareket uygulanır. Örneğin bir üçgenin A köşesi 4 birim sağa ve 2 birim yukarı taşınıyorsa B ve C köşeleri de aynı şekilde 4 birim sağa ve 2 birim yukarı taşınmalıdır.

Öteleme Nedir?

Düzlemde bir noktayı veya şekli belirli bir yön ve uzaklık kadar kaydırma işlemine öteleme denir.

Ötelemede iki bilgi önemlidir:

• hangi yönde hareket edileceği,
• ne kadar hareket edileceği.

Bu hareket yatay, düşey veya her ikisinin birlikte olduğu eğik bir hareket olabilir.

Ötelemede İlk Şekil ve Görüntü

Dönüşümden önceki şekil ilk şekildir.

Öteleme sonrasında oluşan şekil ise görüntüdür.

Örneğin ABC üçgeni ötelendiğinde A'B'C' üçgeni oluşabilir.

Bu durumda:

A → A'

B → B'

C → C'

eşlemeleri vardır.

Önemli olan yalnız A noktasının değil, şeklin bütün noktalarının aynı hareketi yapmasıdır.

Ötelemede Şeklin Biçimi Neden Değişmez?

Öteleme sırasında bütün noktalar aynı miktarda taşındığı için noktalar arasındaki uzaklıklar değişmez.

A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 cm ise ötelemeden sonra A' ile B' arasındaki uzaklık yine 5 cm'dir.

Bu nedenle şeklin:

• kenar uzunlukları,
• açı ölçüleri,
• çevresi,
• alanı

değişmez.

Öteleme Vektörü Fikri

Bir öteleme, bütün noktaların yaptığı ortak hareketle tanımlanabilir.

Örneğin:

4 birim sağa ve 3 birim yukarı

şeklindeki hareket, bütün noktalar için aynıdır.

Bu ortak hareket öteleme vektörü olarak düşünülebilir.

Öteleme vektörü değişirse oluşan görüntünün konumu da değişir.

Koordinat Düzleminde Öteleme

Koordinat düzleminde A noktası:

A(x,y)

biçiminde verilsin.

Nokta yatayda a birim, düşeyde b birim ötelenirse yeni nokta:

A'(x+a,y+b)

olur.

Burada a yatay değişimi, b düşey değişimi gösterir.

Sağa Öteleme

Bir nokta sağa öteleniyorsa x koordinatı artar.

y koordinatı değişmez.

Sola Öteleme

Bir nokta sola öteleniyorsa x koordinatı azalır.

y koordinatı değişmez.

Sola hareket için x koordinatından hareket miktarı çıkarılır.

Yukarı Öteleme

Bir nokta yukarı öteleniyorsa y koordinatı artar.

x koordinatı değişmez.

Aşağı Öteleme

Bir nokta aşağı öteleniyorsa y koordinatı azalır.

x koordinatı değişmez.

Yatay ve Düşey Ötelemeyi Birlikte Yapma

Bir nokta aynı anda hem yatay hem düşey yönde ötelenebilir.

Bu durumda hem x hem y koordinatı değişir.

Negatif Koordinatlı Noktalarda Öteleme

Öteleme kuralları negatif koordinatlarda da aynıdır.

Burada:

-4+6=2

olur.

Negatif Yönde Hareket

Bir noktanın sola veya aşağı hareketi negatif yönlü değişim olarak düşünülebilir.

Örneğin 3 birim sola ve 2 birim aşağı öteleme:

(x,y) → (x-3,y-2)

şeklindedir.

Bir Şeklin Ötelenmesi

Bir şekli ötelemek için bütün köşelerine aynı öteleme uygulanır.

Üç nokta da aynı hareketi yapmıştır.

Ötelemede Kenar Uzunluklarının Korunması

Ötelemede bir kenarın uzunluğu değişmez.

Bu durum bütün karşılıklı kenarlar için geçerlidir.

Ötelemede Açıların Korunması

Bir şeklin açı ölçüleri ötelemeden sonra aynı kalır.

Bu nedenle şeklin biçimi bozulmaz.

Ötelemede Çevrenin Korunması

Kenar uzunlukları değişmediği için çevre de değişmez.

Ötelemede Alanın Korunması

Öteleme şeklin büyüklüğünü değiştirmediği için alan da korunur.

Ötelemede Yönlenişin Korunması

Bir çokgenin köşeleri saat yönünde sıralanıyorsa ötelemeden sonra da aynı yönleniş korunur.

Yani öteleme şekli aynalamaz.

Bu özellik, öteleme ile yansıma arasındaki önemli farklardan biridir.

Ötelemede Paralelliğin Korunması

Paralel doğrular öteleme sonrasında yine paralel kalır.

Ötelemede Doğrusallığın Korunması

Aynı doğru üzerinde bulunan noktalar ötelemeden sonra da aynı doğru üzerinde kalır.

Ötelemede Orta Noktanın Korunması

Bir doğru parçasının orta noktası, öteleme sonrasında görüntü doğru parçasının da orta noktası olur.

Ötelemede Sabit Nokta Var mıdır?

Sıfırdan farklı bir ötelemede bütün noktalar yer değiştirir.

Bu nedenle düzlemde sabit nokta yoktur.

Yalnızca öteleme miktarı sıfırsa bütün noktalar kendi üzerinde kalır.

Bir Nokta ile Görüntüsünden Ötelemeyi Bulma

Bir noktanın başlangıç ve görüntü koordinatları biliniyorsa öteleme miktarı bulunabilir.

Öteleme Kuralını Bulma

A(x,y) noktasının A'(x+4,y-3) noktasına gittiği biliniyorsa öteleme kuralı:

4 birim sağa,

3 birim aşağı

şeklindedir.

Koordinat biçiminde:

(x,y) → (x+4,y-3)

olarak yazılır.

Ters Öteleme

Bir ötelemenin tersini yapmak için hareket yönleri ters çevrilir.

Örneğin:

4 birim sağa ve 2 birim yukarı

ötelemenin tersi:

4 birim sola ve 2 birim aşağı

ötelemedir.

Ardışık Ötelemeler

Bir noktaya art arda birden fazla öteleme uygulanabilir.

Bu durumda yatay hareketler kendi aralarında, düşey hareketler kendi aralarında toplanır.

Zıt Yönlü Ardışık Ötelemeler

İki Boyutlu Ardışık Öteleme

Öteleme ile Özdeşlik Dönüşümü

Bir öteleme ile ters öteleme art arda uygulanırsa net hareket sıfır olur.

Bu durumda şekil başlangıç konumuna döner.

Öteleme ile Yansıma Arasındaki Fark

Ötelemede:

• şekil aynalanmaz,
• yönleniş korunur,
• her nokta aynı hareketi yapar.

Yansımada:

• bir eksene göre ayna görüntüsü oluşur,
• yönleniş tersine döner.

Bu ayrım özellikle şekil tanıma sorularında önemlidir.

Öteleme ile Dönme Arasındaki Fark

Ötelemede şekil bir merkez etrafında çevrilmez.

Dönmede ise bütün noktalar belirli bir merkez etrafında hareket eder.

Ötelemede her noktanın hareket yönü ve miktarı aynıdır.

Dönmede noktaların hareket yolları merkeze göre değişir.

Günlük Hayatta Öteleme

Öteleme günlük hayatta pek çok hareketi açıklamak için kullanılabilir.

Örneğin:

• çekmecenin düz biçimde ileri itilmesi,
• asansörün yukarı hareketi,
• düz bir zeminde kutunun kaydırılması

öteleme fikrine örnek verilebilir.

Öteleme ve Eşlik

Bir şeklin öteleme görüntüsü ilk şekle eştir.

Çünkü:

• karşılıklı kenarlar eşit,
• karşılıklı açılar eşit,
• alanlar eşit,
• çevreler eşittir.

Bu özellik ileride görülecek “Üçgenlerde Eşlik” konusunda doğrudan kullanılacaktır.

Koordinatlarda İşaret Hataları

Öteleme sorularında en sık yapılan hata, yön ile koordinat değişimini karıştırmaktır.

Sağa → x artar.

Sola → x azalır.

Yukarı → y artar.

Aşağı → y azalır.

Sık Yapılan Hatalar

• Sağa hareketi y koordinatına eklemek.
• Yukarı hareketi x koordinatına eklemek.
• Sola ötelemede x'i artırmak.
• Aşağı ötelemede y'yi artırmak.
• Şeklin yalnız bir köşesini taşıyıp diğerlerini taşımamak.
• Ötelemede şeklin döndüğünü düşünmek.
• Ötelemede uzunluk veya alanın değiştiğini sanmak.
• Ardışık ötelemelerde zıt yönleri toplamak yerine ayrı ayrı bırakmak.
• Ters ötelemeyi aynı yönde yapmak.
• Başlangıç ve görüntü koordinatlarından hareket miktarını yanlış çıkarmak.

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

İlk Adım

Hareketin yatay ve düşey bileşenlerini belirle.

İkinci Adım

Sağ-sol hareketinin x koordinatını, yukarı-aşağı hareketinin y koordinatını değiştirdiğini hatırla.

Üçüncü Adım

Her noktaya aynı öteleme kuralını uygula.

Dördüncü Adım

Ardışık ötelemeler varsa yatay ve düşey değişimleri ayrı ayrı topla.

Beşinci Adım

Uzunluk, açı, çevre veya alan soruluyorsa bunların korunduğunu kullan.

Altıncı Adım

Başlangıç ve görüntü verilmişse görüntü koordinatından başlangıç koordinatını çıkararak öteleme miktarını bul.

Konu Özeti

Öteleme, düzlemde bir şeklin bütün noktalarının aynı yönde ve aynı miktarda taşınmasıdır. Koordinat düzleminde genel kural (x,y) → (x+a,y+b) biçimindedir. Sağa-sola hareket x koordinatını, yukarı-aşağı hareket y koordinatını değiştirir. Öteleme katı dönüşümdür; uzunlukları, açıları, çevreyi, alanı ve yönlenişi korur.