9. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Benzerlik – Konu Anlatımı

Üçgenlerde Benzerlik

İki üçgenin **aynı biçime** sahip olması, ancak büyüklüklerinin aynı olmak zorunda olmaması durumuna üçgenlerde benzerlik denir. Benzer üçgenlerde karşılıklı açıların ölçüleri eşittir ve karşılıklı kenar uzunlukları aynı oranda değişir.

Bu nedenle benzerlikte yalnızca “şekiller birbirine benziyor” demek yeterli değildir. Matematiksel olarak hangi köşelerin birbirine karşılık geldiği, karşılıklı açıların eşit olup olmadığı ve karşılıklı kenarların aynı oranı verip vermediği incelenir.

Benzer Üçgen Ne Demektir?

ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer olsun.

Bu durum:

ABC ∼ DEF

biçiminde gösterilir.

Yazılış sırası karşılıklı köşeleri belirler:

A ↔ D

B ↔ E

C ↔ F

Buna göre karşılıklı açılar:

A = D

B = E

C = F

olur.

Karşılıklı kenarlar ise:

AB ↔ DE

BC ↔ EF

AC ↔ DF

şeklinde eşleşir.

Benzerlik ile Eşlik Arasındaki Temel Fark

Eş üçgenlerde hem biçim hem büyüklük aynıdır.

Benzer üçgenlerde ise biçim aynıdır fakat büyüklük farklı olabilir.

Örneğin kenarları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir üçgen ile kenarları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir üçgen aynı biçime sahiptir. İkinci üçgenin bütün kenarları birincinin 2 katıdır. Bu iki üçgen benzer fakat eş değildir.

Karşılıklı Açılar Neden Eşittir?

Benzer üçgenlerin biçimi aynıdır. Bir üçgen diğerinin büyütülmüş veya küçültülmüş hâli gibi düşünülebilir.

Şeklin yalnız büyüklüğü değiştiğinde açıların açıklığı değişmez. Bu nedenle karşılıklı açıların ölçüleri eşit kalır.

Karşılıklı Kenarlar Neden Orantılıdır?

Benzerlikte bütün uzunluklar aynı ölçekle büyür veya küçülür.

Bir kenar 2 katına çıkıyorsa ona karşılık gelen diğer bütün kenarlar da 2 katına çıkar.

Bu nedenle karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir.

Benzerlik oranı konusu sonraki başlıkta ayrıntılı ele alınacaktır. Burada önemli olan, karşılıklı bütün kenarların **aynı orantıyı** sağlamasıdır.

Benzerlik Yazılışının Önemi

ABC ∼ DEF yazılıyorsa A ile D, B ile E, C ile F eşleşir.

Bu sırayı değiştirirsen karşılıklı kenarlar da değişir.

Örneğin ABC ∼ DFE yazımı:

A ↔ D

B ↔ F

C ↔ E

anlamına gelir.

Benzerlik Kriterleri

İki üçgenin benzer olduğunu göstermek için bütün kenar ve açıları tek tek incelemek gerekmez.

Belirli koşullar benzerlik için yeterlidir.

Temel benzerlik kriterleri:

• Açı-Açı benzerliği,
• Kenar-Kenar-Kenar benzerliği,
• Kenar-Açı-Kenar benzerliği

olarak ele alınır.

Açı-Açı Benzerliği

İki üçgende iki karşılıklı açının ölçüleri eşitse üçgenler benzerdir.

Bu kriter kısaca **AA** olarak düşünülebilir.

Neden iki açı yeterlidir?

Çünkü bir üçgenin iç açılar toplamı 180°'dir. İki açı eşitse üçüncü açı da otomatik olarak eşit olur.

AA Benzerliğinin Mantığı

Açıların eşit olması üçgenin biçimini belirler.

Aynı üç açıya sahip iki üçgen farklı büyüklükte olabilir ancak şekilleri aynıdır.

Bu nedenle üçgenlerde “AAA” bilgisi eşlik için yeterli değildi fakat benzerlik için yeterlidir. Aslında iki açı zaten üçüncü açıyı belirlediği için AA demek yeterlidir.

Kenar-Kenar-Kenar Benzerliği

İki üçgende karşılıklı üç kenarın uzunlukları aynı oranda ise üçgenler benzerdir.

Burada kenarların tek tek eşit olması gerekmez. Önemli olan her karşılıklı kenar çiftinin aynı çarpanla ilişkili olmasıdır.

KKK Benzerliğinde Doğru Eşleştirme

Üç kenar verilmişse en uzun kenar en uzun kenarla, en kısa kenar en kısa kenarla eşleştirilerek kontrol yapmak çoğu zaman işleri kolaylaştırır.

Ancak benzerlik yazılışı verilmişse esas olan o yazılıştır.

Kenar-Açı-Kenar Benzerliği

İki üçgende iki karşılıklı kenar aynı oranda ve bu kenarların **arasındaki açı** eşitse üçgenler benzerdir.

Bu kriter KAK benzerliği olarak düşünülebilir.

KAK'ta Aradaki Açı Neden Önemlidir?

İki kenarın oranını bilmek tek başına üçgenin biçimini kesinleştirmez.

Bu iki kenarın birbirine göre hangi açıyla açıldığı da bilinmelidir.

Aradaki açı eşitse, kenarların oluşturduğu şekil de aynı olur.

Sadece Bir Açı Eşitliği Yeterli midir?

Hayır.

Bir açıları eşit olan iki üçgen çok farklı biçimlerde olabilir.

Benzerlik için tek açı eşitliğine ek başka bilgi gerekir.

Sadece İki Kenarın Orantılı Olması Yeterli midir?

Hayır.

İki kenar aynı oranda olsa bile bu kenarlar arasındaki açı farklı olabilir.

Bu durumda üçgenlerin biçimleri değişebilir.

Bu nedenle KAK benzerliğinde aradaki açı bilgisi gereklidir.

Üç Açının Eşitliği

İki üçgende üç açının da karşılıklı eşit olması benzerliği gösterir.

Ancak üçüncü açı zaten ilk iki açıdan belirlendiği için pratikte iki açı eşitliği yeterlidir.

Benzer Üçgenlerde Üçüncü Açıyı Bulma

Benzerlik yazılışından karşılıklı açı eşitlikleri kullanılabilir.

Benzerlikten Bilinmeyen Kenar Bulma Fikri

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar aynı oranı verir.

Bu nedenle bilinmeyen bir kenar, uygun karşılıklı kenarlar kullanılarak bulunabilir.

Ayrıntılı benzerlik oranı hesapları sonraki konuda işlenecek olsa da temel fikir şudur:

Bir kenar ne kadar büyütülmüşse diğer karşılıklı kenar da aynı ölçekte büyür.

Oranı Yanlış Kurmamak

Benzerlik sorularında oranların yönü tutarlı olmalıdır.

Örneğin:

birinci üçgen / ikinci üçgen

şeklinde başladıysan bütün oranlarda aynı sırayı korumalısın.

Benzerlik ve Çevre

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar aynı oranda değiştiği için çevreler de aynı doğrusal oranla değişir.

Bu ilişki “Benzerlik Oranı” konusunda ayrıntılı işlenecektir.

Burada önemli olan, tüm kenarların birlikte ölçeklendiğini anlamaktır.

Benzerlik ve Alan

Benzer üçgenlerde alanlar doğrudan kenarlarla aynı oranda değişmez.

Alan ilişkisi, benzerlik oranının karesiyle bağlantılıdır.

Bu ayrıntı ilerleyen benzerlik problemlerinde kullanılacaktır.

Eşlik ve Benzerliğin Birlikte Düşünülmesi

Eş üçgenler de benzerdir.

Çünkü eş üçgenlerde:

• karşılıklı açılar eşit,
• karşılıklı kenarlar orantılı,
• bu oranın değeri 1'dir.

Fakat her benzer üçgen çifti eş değildir.

Ortak Açının Benzerlikte Kullanılması

Bazı şekillerde iki üçgen bir açıyı ortak kullanabilir.

Ortak açı, iki açı eşitliğinden biri olarak kullanılabilir.

Başka bir açı eşitliği de elde edilirse AA benzerliği kurulabilir.

Ters Açıların Kullanılması

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar eşittir.

Bu özellik benzerlik sorularında sık kullanılır.

Paralel Doğrular ve Benzerlik

Paralel doğrular açı eşitlikleri oluşturur.

Yöndeş, iç ters veya uygun açı eşitlikleri kullanılarak iki üçgende iki eş açı bulunabilir.

Bu da AA benzerliğine götürür.

Büyük Üçgen İçindeki Küçük Üçgen

Bir üçgenin içinde, bir kenara paralel doğru çizildiğinde daha küçük bir üçgen oluşabilir.

Paralellik nedeniyle eş açılar elde edilir ve küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olabilir.

Bu yapı Tales Teoremi konusunun temelini oluşturur.

Benzerlikte Şeklin Duruşu Önemli midir?

Hayır.

Bir üçgen döndürülmüş, ötelenmiş veya yansıtılmış olabilir.

Benzerlik açısından önemli olan:

• karşılıklı açıların eşitliği,
• karşılıklı kenarların aynı oranda olmasıdır.

Bu nedenle şekiller sayfada farklı yönlerde çizilmiş olsa bile benzer olabilir.

Benzerlik Yazılışını Açıdan Kurma

Açı eşleşmeleri biliniyorsa benzerlik sırası kurulabilir.

Harfleri yanlış sıraya koymak, sonraki oranların da yanlış kurulmasına neden olur.

Benzerlik Yazılışını Kenardan Kurma

Karşılıklı kenarlar biliniyorsa ortak köşeler yardımıyla hangi köşelerin eşleştiği bulunabilir.

Örneğin:

AB ↔ DE

BC ↔ EF

ise B köşesi hem AB hem BC'nin ortak köşesidir; E de DE ve EF'nin ortak köşesidir.

Bu nedenle B↔E olur.

Benzerlikten Denklem Kurma

Karşılıklı kenarların oranı kullanılarak cebirsel denklemler kurulabilir.

Bu tür sorular, sonraki “Benzerlik Oranı” başlığında daha ayrıntılı incelenecektir.

Açı Bilgisinden Benzerlik Kararı

Kenar Bilgisinden Benzerlik Kararı

Benzer Olmayan Üçgeni Anlama

Eğer karşılıklı açıların biri farklıysa veya kenar oranları aynı değilse benzerlik kurulamaz.

Ölçekleme ve Benzerlik

Bir şeklin bütün uzunlukları aynı pozitif katsayıyla çarpılırsa biçim korunur.

Üçgenlerde bu işlem benzer bir üçgen oluşturur.

Örneğin bütün kenarları 3 katına çıkarmak üçgeni büyütür fakat açılarını değiştirmez.

Bu nedenle benzerlik, geometrik büyütme ve küçültmenin temel matematiksel modelidir.

Benzerlikte Sıfır veya Negatif Uzunluk Olmaz

Kenar uzunlukları pozitif olmalıdır.

Benzerlik oranı da uzunluk oranı olarak pozitif alınır.

Bu nedenle cebirsel sorularda bulunan değerlerin kenar uzunluklarını pozitif yapıp yapmadığı kontrol edilmelidir.

Eşkenar Üçgenler

Bütün eşkenar üçgenlerin açıları 60°'dir.

Bu nedenle herhangi iki eşkenar üçgen AA ile benzerdir.

Ancak kenar uzunlukları aynı değilse eş değildir.

Dik Üçgenlerde Benzerlik

İki dik üçgende birer dar açı daha eşitse ikinci dar açılar da eşit olur.

Bu nedenle AA benzerliği oluşur.

İkizkenar Üçgenlerde Benzerlik

İki ikizkenar üçgenin yalnız “ikizkenar” olması benzerlik için yeterli değildir.

Taban açıları veya tepe açıları farklı olabilir.

Benzerlik için açı veya kenar oranı bilgisi ayrıca kontrol edilmelidir.

Benzerlik ve Geometrik Dönüşümler

Öteleme, yansıma ve dönme şeklin büyüklüğünü değiştirmez. Bu nedenle bu dönüşümlerde görüntü ilk şekle eştir ve dolayısıyla benzerdir.

Büyütme-küçültme türü ölçeklemeler ise eşlik oluşturmayabilir fakat benzerlik oluşturabilir.

Bu ayrım eşlik ve benzerlik arasındaki temel farkı açıklar.

Sık Yapılan Hatalar

• Benzerlik yazılışındaki harf sırasını önemsememek.
• Karşılıklı olmayan kenarları oranlamak.
• Oran yönünü bir eşitliğin ortasında değiştirmek.
• AAA bilgisini eşlik sanmak.
• Tek açı eşitliğini benzerlik için yeterli kabul etmek.
• İki kenarın orantılı olmasını tek başına yeterli sanmak.
• KAK benzerliğinde aradaki açıyı kontrol etmemek.
• Şekillerin aynı yönde çizilmesi gerektiğini düşünmek.
• Eş üçgenlerin benzer olduğunu unutmak.
• Her benzer üçgen çiftini eş sanmak.
• Benzerlikte alan oranını kenar oranıyla aynı sanmak.
• Şekle bakarak benzerlik kararı vermek.

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

İlk Adım

Karşılıklı köşeleri ve açıları belirle.

İkinci Adım

Benzerlik yazılışı verilmişse harf sırasını dikkatle oku.

Üçüncü Adım

AA, KKK veya KAK kriterlerinden hangisinin sağlandığını kontrol et.

Dördüncü Adım

Kenar oranı kullanılacaksa yalnız karşılıklı kenarları eşleştir.

Beşinci Adım

Oran yönünü bütün eşitlik boyunca aynı tut.

Altıncı Adım

Bilinmeyen uzunluk varsa aynı ölçek ilişkisini kullanarak denklem kur.

Yedinci Adım

Sonucun pozitif bir uzunluk verdiğini kontrol et.

Konu Özeti

İki üçgen aynı biçime sahipse ve karşılıklı kenarları aynı oranda değişiyorsa benzerdir. Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları eşittir. Benzerlik AA, KKK ve KAK kriterleriyle gösterilebilir. Benzerlik yazılışında harf sırası karşılıklı köşe ve kenarları belirler. Eş üçgenler her zaman benzerdir; fakat benzer üçgenlerin büyüklükleri farklı olabilir.