Düzgün Çembersel Hareket Konu Anlatımı

Düzgün Çembersel Hareket

Günlük hayatta ve teknolojide birçok hareket doğrusal bir yol izlemez. Dünya’nın Güneş çevresindeki hareketi, dönme dolap kabinleri, pikap tablası, rüzgâr türbini kanatlarının uçları, dönen platformlar ve viraj alan araçlar belirli bir merkez çevresinde hareket eder. MEB 11. Sınıf Fizik ders kitabında bu hareketler üzerinden çembersel hareketin yörünge, hız, periyot, frekans, açısal hız, merkezcil ivme ve merkezcil kuvvet kavramları açıklanır.

Çembersel Hareket Nedir?

Sabit bir nokta veya eksen etrafında çember şeklindeki bir yörünge üzerinde yapılan harekete **çembersel hareket** denir.

Bir araç döner kavşağa girdiğinde, dönme dolap kabini merkez çevresinde ilerlediğinde veya bir ipin ucundaki taş döndürüldüğünde çembersel yörünge oluşabilir.

Çembersel hareket ikiye ayrılır:

• düzgün çembersel hareket,
• düzgün olmayan çembersel hareket.

Bir cisim eşit zaman aralıklarında eşit yay uzunlukları alıyorsa yaptığı hareket düzgün çembersel harekettir.

Eşit zamanlarda farklı yay uzunlukları alıyorsa hareket düzgün olmayan çembersel harekettir.

Newton’ın Topu Düşünce Deneyi

MEB kitabında Newton’ın Topu düşünce deneyi, yörünge hareketini açıklamak için kullanılır.

Atmosferin olmadığı varsayılan çok yüksek bir dağın tepesinden yatay fırlatılan gülle:

• düşük hızlarda Dünya’ya düşer,
• daha yüksek hızlarda daha uzağa düşer,
• uygun yörünge hızında Dünya çevresinde dairesel yörüngeye yerleşebilir,
• daha büyük fakat kaçış hızından küçük hızlarda eliptik yörünge izleyebilir,
• kaçış hızını aşarsa Dünya’nın çekiminden kurtulabilir.

Bu yaklaşım haberleşme, GPS ve meteoroloji uydularının belirli yörüngelere yerleştirilmesiyle ilişkilendirilir.

Yörünge Merkezi ve Yarıçap Vektörü

Çembersel hareket yapan cismin herhangi bir andaki konumu, merkezden cisme doğru çizilen vektörle gösterilir.

Bu vektöre **yarıçap vektörü** denir.

Yarıçap vektörünün:

• başlangıç noktası merkezdir,
• bitiş noktası cisimdir,
• büyüklüğü yörüngenin yarıçapıdır.

Düzgün çembersel harekette yörünge yarıçapı sabittir.

Çizgisel Hızın Yönü

Çembersel yörüngede cismin herhangi bir andaki hız vektörü, o noktada yörüngeye teğettir.

Bu nedenle hız vektörü ile yarıçap vektörü birbirine diktir.

**v ⟂ r**

Hız vektörü hareket yönünü gösterir.

Düzgün Çembersel Hareket ve Hız

Düzgün çembersel harekette cismin **çizgisel sürati sabittir**.

Ancak hız vektörel bir büyüklüktür.

Yön değiştiği için hız vektörü hareket boyunca değişir.

Bu nedenle:

• sürat sabit,
• hız değişken

olabilir.

Bu ayrım düzgün çembersel hareketin en önemli kavramlarından biridir.

Periyot

Bir cismin düzgün çembersel harekette bir tam tur atması için geçen süreye **periyot** denir.

Sembolü:

**T**

dir.

Periyot bir zaman büyüklüğüdür.

Frekans

Bir saniyede atılan tur sayısına **frekans** denir.

Sembolü:

**f**

dir.

Periyot ile frekans arasında:

**T·f = 1**

ilişkisi vardır.

Buradan:

**f = 1/T**

ve:

**T = 1/f**

elde edilir.

Çizgisel Sürat

Bir cismin çembersel yörüngesi üzerinde birim zamanda aldığı yay uzunluğuna çizgisel sürat denir.

Bir tam turda alınan yol:

**2πr**

dir.

Bir tam turun süresi T olduğuna göre:

**v = 2πr/T**

olur.

Frekans kullanılarak:

**v = 2πr·f**

yazılabilir.

Açısal Hız

Düzgün çembersel hareket yapan cismin yarıçap vektörünün birim zamanda taradığı açının radyan cinsinden değerine **açısal hız** denir.

Sembolü:

**ω**

Birimi:

**rad/s**

dir.

Bir tam turda taranan açı 2π radyan olduğundan:

**ω = 2π/T**

ve:

**ω = 2πf**

bağıntıları kullanılır.

Açısal Hızın Yönü

Açısal hız vektörel bir büyüklüktür.

Yönü sağ el kuralıyla belirlenir.

Sağ elin dört parmağı dönüş yönünde kıvrıldığında başparmak açısal hız vektörünün yönünü gösterir.

MEB kitabındaki örnekte x-y düzleminde saat yönünün tersine dönen cismin açısal hız yönü +z yönündedir.

Çizgisel Sürat ve Açısal Hız İlişkisi

Çizgisel sürat ile açısal hız arasında:

**v = ωr**

ilişkisi vardır.

Bu bağıntıya göre aynı açısal hızla dönen iki noktadan yarıçapı daha büyük olanın çizgisel sürati daha büyüktür.

Tersine, aynı çizgisel sürate sahip farklı yarıçaplı tekerleklerde yarıçapı küçük olanın açısal hızı daha büyüktür.

Tekerleklerin Dönmesi

MEB kitabında traktör tekerlekleri ve paralimpik yarış tekerlekli sandalyesi örnekleriyle farklı yarıçaplı tekerlekler ele alınır.

Aynı doğrusal yolu alan tekerleklerde:

• büyük yarıçaplı tekerlek daha az tur atar,
• küçük yarıçaplı tekerlek daha fazla tur atar.

Aynı çizgisel hızda:

**ω = v/r**

olduğundan yarıçap küçüldükçe açısal hız ve frekans artar.

Geostatik Uydu Örneği

Geostatik yörüngedeki bir uydu Dünya’nın dönüşüyle aynı açısal hızla hareket eder.

MEB kitabındaki örnekte:

• yörünge yarıçapı: yaklaşık 42 186 km,
• periyot: 24 saat = 86 400 s

alınır.

π=3 için çizgisel hız yaklaşık:

**v ≈ 2930 m/s**

olarak bulunur.

Açısal hız:

**ω = 2π/T**

bağıntısıyla hesaplanır.

Bu uydu, Dünya üzerindeki gözlemciye gökyüzünde aynı noktada duruyormuş gibi görünebilir.

Merkezcil İvme

Düzgün çembersel harekette çizgisel sürat sabit olmasına rağmen hız vektörünün yönü sürekli değişir.

Hız değiştiği için cisim ivmelidir.

Bu ivmeye **merkezcil ivme** denir.

Merkezcil ivmenin yönü:

• hız vektörüne dik,
• yarıçap doğrultusunda,
• yarıçap vektörüne zıt,
• merkeze doğrudur.

Büyüklüğü:

**a = v²/r**

veya:

**a = ω²r**

bağıntılarıyla bulunur.

Merkezcil İvmenin Değişkenlerle İlişkisi

**a = v²/r**

bağıntısına göre:

• v artarsa merkezcil ivme hızın karesiyle artar,
• aynı v için r artarsa merkezcil ivme azalır.

**a = ω²r**

bağıntısına göre:

• aynı ω için r büyüdükçe merkezcil ivme büyür,
• ω arttıkça merkezcil ivme ω² ile artar.

Bu nedenle hangi değişkenin sabit tutulduğuna dikkat etmek gerekir.

Merkezcil Kuvvet

Düzgün çembersel hareket ivmeli bir hareket olduğuna göre Newton’ın II. Yasası gereği cisme net kuvvet etki eder.

Bu net kuvvet:

• hız vektörüne dik,
• merkeze yönelmiş

olmalıdır.

Bu kuvvete **merkezcil kuvvet** denir.

Sembolü:

**Fm**

Birimi:

**N**

dir.

Büyüklüğü:

**Fm = m·v²/r**

veya:

**Fm = m·ω²r**

olarak yazılır.

Merkezcil Kuvvet Yeni Bir Kuvvet Değildir

Merkezcil kuvvet ayrı bir temel kuvvet değildir.

Bir cismin çembersel hareketini sağlayan gerçek kuvvetlerin merkeze yönlü net bileşkesidir.

Duruma göre merkezcil kuvveti:

• gerilme kuvveti,
• sürtünme kuvveti,
• kütle çekim kuvveti,
• elektromanyetik kuvvet

sağlayabilir.

Örneğin:

• ipe bağlı yatay dönen cisimde gerilme,
• yatay virajdaki araçta statik sürtünme,
• uydu hareketinde kütle çekim kuvveti

merkezcil kuvvet görevini üstlenebilir.

Merkezcil Kuvvet Neden Sürati Değiştirmez?

Düzgün çembersel harekette merkezcil kuvvet hız vektörüne diktir.

MEB kitabında bu nedenle merkezcil kuvvetin fiziksel anlamda iş yapmadığı ve cismin kinetik enerjisinde değişime neden olmadığı belirtilir.

Sonuç olarak:

• sürat sabit kalır,
• yalnız hızın yönü değişir.

Yatay Düzlemde İpe Bağlı Cisim

Sürtünmesiz yatay düzlemde r uzunluğundaki ipin ucuna bağlı m kütleli cisim düzgün çembersel hareket yapsın.

Düşey doğrultuda:

• normal kuvvet,
• ağırlık

birbirini dengeler.

Yatay doğrultuda ip gerilmesi merkeze yönelmiştir.

Bu nedenle:

**T = Fm**

olur.

Yani:

**T = m·v²/r**

veya:

**T = m·ω²r**

şeklinde yazılabilir.

Frekans Artarsa Gerilme

İpin boyu yani r sabitken frekans artırılırsa:

**ω = 2πf**

olduğu için açısal hız artar.

Gerilme:

**T = mω²r**

olduğundan frekansın karesiyle büyür.

Bu nedenle daha hızlı döndürülen cismi yörüngede tutmak için daha büyük merkezcil kuvvet gerekir.

Uzay İstasyonu Örneği

MEB kitabında yarıçapı 1000 m olan Cezeri-3 uzay istasyonunun kendi ekseni çevresindeki dönüşü incelenir.

Merkezcil ivmenin Dünya’nın yer çekimi ivmesine eşit olması istenirse:

**a = ω²r**

ve:

**ω = 2πf**

kullanılır.

π=3, a=10 m/s² ve r=1000 m için:

**f = 1/60 Hz**

bulunur.

Açısal İvme ve Düzgün Olmayan Çembersel Hareket

MEB kitabı düzgün çembersel hareketi, düzgün olmayan çembersel hareketle karşılaştırır.

Çizgisel sürat zamanla değişiyorsa hareket düzgün değildir.

Birim zamanda açısal hızdaki değişime **açısal ivme** denir.

Sembolü:

**α**

Birimi:

**rad/s²**

dir.

Matematiksel modeli:

**α = Δω/Δt**

şeklindedir.

Açısal hızın büyüklüğü artıyorsa α ve ω aynı yönlü; azalıyorsa zıt yönlüdür.

Düşey Düzlemde Çembersel Hareket

Yer çekiminin etkili olduğu düşey düzlemde, cismin merkezden uzaklığı değişmeden çembersel yörüngede hareket etmesine düşey düzlemde çembersel hareket denir.

Yatay düzlemden farkı, ağırlığın farklı konumlarda merkezcil kuvvet denklemine farklı biçimlerde katılmasıdır.

Bu nedenle ip gerilmesi yörüngenin her noktasında aynı olmak zorunda değildir.

Tepe Noktasında Su Dolu Kova

Su dolu kova düşey düzlemde yeterli süratle döndürülürse tepe noktasında su dökülmeyebilir.

Tepe noktasında:

• ağırlık merkeze doğrudur,
• ip gerilmesi de merkeze doğru olabilir.

Minimum koşulda ip gerilmesi sıfır sınırına gelir.

Bu durumda:

**Fm = G**

olur.

Yani:

**m·v²/r = m·g**

Buradan:

**vmin = √(g·r)**

elde edilir.

Bu minimum hız:

• g’ye,
• r’ye

bağlıdır; kütleye bağlı değildir.

Ağırlıksızlık Örneği

MEB kitabında yarıçapı 1000 m olan düşey çembersel parkurda hareket eden uçak incelenir.

Yolcular tepe noktasında kendilerini ağırlıksız hissediyorsa merkezcil kuvveti ağırlık sağlar:

**m·v²/r = m·g**

Buradan:

**v = 100 m/s**

bulunur.

Kitaptaki örnekte mekanik enerjinin korunumu kullanılarak alt noktadaki hız:

**100√5 m/s**

olarak elde edilir.

Yatay Virajda Çembersel Hareket

Bir araç yatay virajda dönerken gerekli merkezcil kuvveti yol ile tekerlekler arasındaki statik sürtünme sağlar.

Güvenli dönüş sınırında:

**Fm = fs,max**

olur.

Yani:

**m·v²/r = k·m·g**

Kütle sadeleşir.

Buradan:

**vmax = √(k·g·r)**

elde edilir.

Bu model güvenli maksimum hızın:

• sürtünme katsayısına,
• yer çekimi ivmesine,
• viraj yarıçapına

bağlı olduğunu, araç kütlesine bağlı olmadığını gösterir.

Tren Viyadüğü Örneği

MEB kitabındaki örnekte trenin hızı:

**252 km/h = 70 m/s**

Sürtünme katsayısı:

**k = 0,25**

g:

**10 m/s²**

dir.

Minimum viraj yarıçapı:

**r = v²/(kg)**

bağıntısıyla:

**r = 1960 m**

bulunur.

Trenin yolculu veya yolcusuz olması bu yarıçapı değiştirmez; çünkü kütle denklemde sadeleşir.

Farklı Yol Koşulları

Virajda güvenli hız:

**vmax = √(kgr)**

olduğundan sürtünme katsayısı azaldıkça güvenli hız küçülür.

Örneğin r=50 m ve g=10 m/s² için:

k=0,4 olduğunda:

**vmax = 10√2 m/s**

k=0,1 olduğunda:

**vmax = 5√2 m/s**

olur.

Buzlu yol daha düşük güvenli hız gerektirir.

Eğimli Virajda Çembersel Hareket

Sürtünmenin ihmal edildiği eğimli virajda araç üzerine:

• ağırlık,
• normal kuvvet

etki eder.

Normal kuvvetin yatay bileşeni merkezcil kuvveti sağlar.

Düşey bileşeni ağırlığı dengeler.

Bu iki denklemin oranlanmasıyla:

**tanθ = v²/(gr)**

elde edilir.

Buradan ideal hız:

**v = √(g·r·tanθ)**

olur.

Bu modelde de kütle bulunmaz.

Eğim Açısının Etkisi

Sürtünmesiz eğimli virajda:

**v = √(grtanθ)**

olduğundan r ve g sabitken eğim açısı artırılırsa tanθ büyür ve ideal hız da artar.

Bu nedenle yol geometrisi güvenli dönüş hızını etkiler.

Velodrom Örneği

MEB kitabındaki sürtünmesiz velodrom örneğinde:

θ = 60°

r = 30√3 m

g = 10 m/s²

tan60° = √3

alınır.

İdeal hız:

**v = √(10·30√3·√3)**

**v = 30 m/s**

olarak bulunur.

İp Koparsa Ne Olur?

İpe bağlı cisim düzgün çembersel hareket yaparken ip koparsa merkezcil kuvvet ortadan kalkar.

Cisim, kopma anındaki hız vektörü doğrultusunda hareketine devam eder.

Bu doğrultu:

• çembersel yörüngeye teğettir,
• yarıçap vektörüne diktir.

Bu durum hız vektörünün çembersel hareketteki yönünü anlamak için önemlidir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Düzgün çembersel harekette sürat sabittir fakat hız vektörü sabit değildir.
• Hız vektörü yörüngeye teğettir.
• Hız vektörü yarıçap vektörüne diktir.
• Merkezcil ivme merkeze doğrudur.
• Merkezcil kuvvet merkeze doğrudur.
• Merkezcil kuvvet yeni bir kuvvet türü değildir; net kuvvettir.
• Merkezcil kuvvet hız vektörüne dik olduğundan süratin büyüklüğünü değiştirmez.
• Aynı açısal hızda daha büyük yarıçap daha büyük çizgisel sürat verir.
• Aynı çizgisel süratte daha küçük yarıçap daha büyük açısal hız verir.
• Yatay virajda merkezcil kuvveti statik sürtünme sağlar.
• Yatay virajdaki güvenli maksimum hız araç kütlesine bağlı değildir.
• Sürtünmesiz eğimli virajda merkezcil kuvveti normal kuvvetin yatay bileşeni sağlar.
• Düşey çemberin tepe noktasında suyun dökülmemesi için minimum hız √(gr)’dir.
• İp koptuğunda cisim merkeze doğru değil, teğet doğrultuda hareket eder.
• Açısal ivme düzgün olmayan çembersel harekette açısal hızın değişimini ifade eder.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Hareketin çembersel olup olmadığını belirle.
2. Düzgün çembersel harekette süratin sabit olduğunu, hız yönünün değiştiğini unutma.
3. Periyot ve frekans arasında T·f=1 ilişkisini kullan.
4. Çizgisel sürat için v=2πr/T veya v=2πrf kullan.
5. Açısal hız için ω=2π/T veya ω=2πf kullan.
6. Çizgisel ve açısal hız arasında v=ωr ilişkisini kur.
7. Merkezcil ivme için a=v²/r veya a=ω²r kullan.
8. Merkezcil kuvvet için Fm=mv²/r veya Fm=mω²r kullan.
9. Merkezcil kuvveti sağlayan gerçek kuvveti serbest cisim diyagramından belirle.
10. Yatay düzlemde ipe bağlı cisimde gerilmeyi merkezcil kuvvete eşitle.
11. Düşey çemberde bulunduğun noktaya göre ağırlığın merkeze göre yönünü dikkatle belirle.
12. Tepe noktasındaki minimum temas koşullarında uygun kuvvetin sıfır sınırını değerlendir.
13. Yatay virajda maksimum statik sürtünmeyi merkezcil kuvvete eşitle.
14. Sürtünmesiz eğimli virajda normal kuvveti yatay ve düşey bileşenlerine ayır.
15. İp kopması sorularında kopma anındaki teğet hız yönünü kullan.
16. Sonucun birim ve fiziksel anlam kontrolünü yap.

Konu Özeti

Düzgün çembersel hareket, cismin çembersel yörüngede eşit zamanlarda eşit yollar aldığı harekettir. Çizgisel sürat sabit, hız vektörü değişkendir. Hız yörüngeye teğet ve yarıçapa diktir. Periyot ve frekans T·f=1 bağıntısıyla ilişkilidir. Çizgisel sürat v=2πr/T=2πrf, açısal hız ω=2π/T=2πf ve v=ωr bağıntılarıyla modellenir. Merkezcil ivme a=v²/r=ω²r, merkezcil kuvvet ise Fm=mv²/r=mω²r’dir. Merkezcil kuvvet yeni bir kuvvet olmayıp merkeze yönelmiş net kuvvettir. Yatay ve eğimli virajlar ile düşey çembersel hareket bu modeller kullanılarak analiz edilir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Çembersel ve düzgün çembersel hareketi tanımlayabilmelisin.
• Yarıçap ve hız vektörlerini doğru çizebilmelisin.
• Düzgün çembersel harekette sürat ile hız arasındaki farkı açıklayabilmelisin.
• Periyot ve frekans ilişkisini kullanabilmelisin.
• Çizgisel sürati hesaplayabilmelisin.
• Açısal hızı ve yönünü belirleyebilmelisin.
• v=ωr ilişkisini kullanabilmelisin.
• Merkezcil ivmenin büyüklük ve yönünü belirleyebilmelisin.
• Merkezcil kuvvetin gerçek fiziksel anlamını açıklayabilmelisin.
• Yatay düzlemde ipe bağlı cisim problemlerini çözebilmelisin.
• Düşey düzlemde minimum hız koşullarını yorumlayabilmelisin.
• Yatay virajda güvenli maksimum hızı hesaplayabilmelisin.
• Sürtünmesiz eğimli virajda ideal hızı hesaplayabilmelisin.
• İp koptuğunda cismin hareket yönünü belirleyebilmelisin.
• Düzgün olmayan çembersel harekette açısal ivme kavramını ayırt edebilmelisin.