İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket Konu Anlatımı

İki Boyutta Sabit İvmeli Hareket

Doğada birçok hareket doğrusal değil, eğrisel bir yörüngede gerçekleşir. Potaya giden basketbol topu, tramplenden atlayan sporcu, hortumdan çıkan su, uzun atlama yapan atlet veya havaya fırlatılan bir taş bu tür hareketlere örnektir. Bu hareketler iki boyutludur ve doğru incelenebilmesi için yatay ve düşey bileşenlerine ayrılır.

MEB 11. Sınıf Fizik ders kitabında iki boyutta sabit ivmeli hareket, hava direncinin ihmal edildiği ve yer çekimi ivmesinin sabit kabul edildiği koşullarda ele alınır.

İki Boyutlu Hareketin Temel Mantığı

Bir cismin aynı anda hem yatay hem düşey doğrultuda hareket bileşeni olabilir. Bu iki hareket birleştiğinde cismin eğrisel yörüngesi oluşur.

Hava direnci ihmal edildiğinde yatay doğrultuda ivme yoktur:

ax = 0

Düşey doğrultuda ise yalnız yer çekimi ivmesi vardır:

ay = −g

Yukarı yön pozitif seçildiğinde g aşağı yönlü olduğu için düşey ivme negatif işaretlidir.

Yatay ve Düşey Hareketin Bağımsızlığı

Kitapta aynı yükseklikten:

• K topunun ilk hızsız bırakılması,
• L topunun aynı noktadan yatay fırlatılması

karşılaştırılır.

Bu iki topun eşit zaman aralıklarında düşey konumlarının aynı olduğu görülür. Yatay fırlatılan L topunun yatay hızı düşey hareketini değiştirmez.

Bu nedenle hava direnci yoksa iki cisim aynı anda yere ulaşır.

İlk Hızın Bileşenleri

Bir cisim yatayla α açısı yapacak biçimde v0 ilk hızıyla atıldığında ilk hız iki bileşene ayrılır.

Yatay bileşen:

v0x = v0·cosα

Düşey bileşen:

v0y = v0·sinα

Bu iki bileşen iki eksendeki hareketi ayrı ayrı başlatır.

Yatay Doğrultudaki Hareket

Yatay doğrultuda:

ax = 0

olduğu için hız sabittir.

vx = v0x

Yatay yer değiştirme:

x = v0x·t

bağıntısıyla bulunur.

Bu nedenle cisim eşit zaman aralıklarında yatayda eşit mesafeler alır.

Düşey Doğrultudaki Hareket

Düşey doğrultuda hareket sabit ivmelidir.

Yukarı yön pozitif seçilirse:

ay = −g

Düşey hız:

vy = v0y − g·t

Düşey konum:

y = v0y·t − (1/2)g·t²

Zamandan bağımsız model:

vy² = v0y² − 2g·Δy

şeklindedir.

Eğrisel Yörüngenin Oluşması

Yer çekimi olmasaydı cisim ilk hız doğrultusunda doğrusal hareket ederdi.

Yer çekimi yalnız düşey bileşeni değiştirdiği için yatay hız sabit kalırken düşey hız değişir. Bu iki hareketin birleşimi cismin kavisli bir yörünge izlemesine neden olur.

En Yüksek Nokta

Eğik atılan cisim yükselirken düşey hız bileşeni küçülür.

En yüksek noktada:

vy = 0

olur.

Ancak yatay hız bileşeni:

vx = v0x

olarak devam eder.

Bu nedenle cismin toplam hızı sıfır değildir.

Maksimum Yüksekliğe Çıkma Süresi

En yüksek noktada vy=0 olduğu için:

0 = v0y − g·t

Buradan:

tçıkış = v0y/g

bulunur.

Cisim aynı seviyeden atılıp aynı seviyeye düşüyorsa toplam uçuş süresi:

tuçuş = 2v0y/g

olur.

Maksimum Yükseklik

En yüksek noktada vy=0 alınırsa:

0 = v0y² − 2g·hmax

Buradan:

hmax = v0y²/(2g)

elde edilir.

Maksimum yükseklik, ilk hızın düşey bileşeniyle belirlenir.

Yatay Menzil

Yatay hız sabit olduğundan:

xmenzil = v0x·tuçuş

bağıntısı kullanılır.

Aynı seviyeye düşüşte menzil hem yatay hız bileşenine hem de düşey hareketin belirlediği uçuş süresine bağlıdır.

Örnek: 50 m/s ve 53° ile Atış

v0 = 50 m/s

α = 53°

sin53° = 0,8

cos53° = 0,6

Yatay bileşen:

v0x = 50·0,6 = 30 m/s

Düşey bileşen:

v0y = 50·0,8 = 40 m/s

Tepeye çıkış süresi:

t = 40/10 = 4 s

Maksimum yükseklik:

hmax = 40²/(2·10) = 80 m

Tepe noktasına kadar yatay yer değiştirme:

x = 30·4 = 120 m

olur.

Yatay Atış

Cisim yatay doğrultuda fırlatılıyorsa:

v0y = 0

olur.

Yatay hareket:

x = v0x·t

Düşey hareket:

h = (1/2)gt²

şeklindedir.

Yere düşme süresi yalnız düşey hareketten bulunur. Yatay hız düşme süresini değiştirmez.

Örnek: Yatay Sıçrayan Kaplan

Kaplan 5 m yükseklikten 4 m/s yatay hızla ayrılsın.

g = 10 m/s²

Düşme süresi:

5 = (1/2)·10·t²

t = 1 s

Yatay uzaklık:

x = 4·1 = 4 m

olur.

Yardım Paketi Örneği

Uçak 125 m yüksekte 50 m/s yatay hızla uçarken paket bırakıyor.

Düşey hareket:

125 = 5t²

t = 5 s

Yatay mesafe:

x = 50·5 = 250 m

Çarpma anındaki düşey hız:

vy = 10·5 = 50 m/s

Yatay hız da 50 m/s olduğundan toplam hız büyüklüğü:

v = √(50²+50²) = 50√2 m/s

olur.

Farklı Seviyeye Düşen Eğik Atış

Cisim atıldığı seviyeden daha aşağıdaki bir noktaya düşebilir.

Bu durumda uçuş süresi doğrudan 2v0y/g biçiminde alınamaz.

Düşey konum bağıntısı:

y = v0y·t − (1/2)gt²

kullanılır.

Örneğin v0=25 m/s ve α=53° için:

v0x = 15 m/s

v0y = 20 m/s

Cisim atış noktasından 60 m aşağı düşüyorsa:

−60 = 20t − 5t²

denkleminden:

t = 6 s

bulunur.

Çarpma anındaki düşey hız:

vy = 20 − 10·6 = −40 m/s

Yatay yer değiştirme:

x = 15·6 = 90 m

olur.

45° Atış

45° açıyla yapılan atışta:

sin45° = cos45°

olduğundan:

v0x = v0y

olur.

Aynı seviyeye düşen hareketlerde aynı ilk hız büyüklüğü için 45° atış maksimum yatay menzili verir.

30° ve 60° gibi birbirini 90°'ye tamamlayan açılar ise aynı ilk hızla aynı menzili oluşturur.

Örnek: 45° ile Atılan Su Roketi

v0 = 20√2 m/s

α = 45°

Bileşenler:

v0x = 20 m/s

v0y = 20 m/s

g = 10 m/s² için:

tepeye çıkış süresi = 2 s

toplam uçuş süresi = 4 s

maksimum yükseklik = 20 m

yatay menzil = 80 m

En yüksek noktadaki hız büyüklüğü 20 m/s, ivme büyüklüğü ise 10 m/s²'dir.

Hız-Zaman Grafikleri

Yatay hız-zaman grafiği:

• v0x değerinde yatay bir doğrudur,
• hareket boyunca değişmez.

Düşey hız-zaman grafiği:

• v0y değerinden başlar,
• eğimi −g olan doğrudur,
• tepe noktasında sıfırı keser,
• inişte negatif değerlere geçer.

Konum-Zaman Grafikleri

Yatay konum-zaman grafiği:

x = v0x·t

olduğu için doğrusaldır.

Düşey konum-zaman grafiği:

y = v0y·t − (1/2)gt²

olduğu için paraboliktir.

Aynı Seviyeye Dönüşte Simetri

Cisim aynı seviyeden atılıp aynı seviyeye döndüğünde:

• çıkış ve iniş süreleri eşittir,
• aynı yükseklikten geçerken düşey hız büyüklükleri eşit, yönleri zıttır,
• yatay hız bileşeni değişmez.

Bu nedenle aynı konumda çıkış ve iniş hızlarının büyüklükleri eşit olabilir.

Aynı Maksimum Yüksekliğe Çıkan Cisimler

İki cismin maksimum yükselme miktarları eşitse:

hmax = v0y²/(2g)

bağıntısı gereği düşey ilk hız bileşenlerinin büyüklükleri de eşittir.

Aynı seviyeye geri dönüyorlarsa havada kalma süreleri de eşittir.

Çembersel Hareketten İki Boyutlu Harekete Geçiş

İpe bağlı taş düşey düzlemde çembersel hareket yaparken ip bırakıldığında taşın ilk hızı o noktadaki yörüngeye teğettir.

Sağ veya sol yan noktada teğet düşey olduğundan hareket düşey doğrultuda tek boyutlu olabilir.

Çemberin en üst veya en alt noktasında teğet yataydır. Yer çekimi düşey olduğundan taş iki boyutlu sabit ivmeli harekete başlar.

Kontrol Noktası Modeli

Kitabın kontrol noktasında bir cismin toplam 6t süre havada kaldığı hareket gösterilir.

Tepe noktası 3t anındadır.

Yatay doğrultuda:

• hız sabittir,
• eşit zamanlarda eşit x yolları alınır.

Düşey doğrultuda:

• 0-3t aralığında yukarı yönlü ilk hızlı serbest düşme,
• 3t-6t aralığında ilk hızı sıfır olan aşağı yönlü serbest düşme

olarak modellenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Yatay ve düşey hareket birbirinden bağımsızdır.
• Yatay hız hava direnci yokken sabittir.
• Düşey hız yer çekimi nedeniyle değişir.
• En yüksek noktada toplam hız sıfır değildir; yalnız vy sıfırdır.
• En yüksek noktada ivme sıfır değildir.
• Yatay atışta düşme süresi yatay hızdan bağımsızdır.
• v0x için cosα, v0y için sinα kullanılır.
• Yatay konum-zaman grafiği doğrusal, düşey konum-zaman grafiği paraboliktir.
• Aynı seviyeye dönüşte düşey hareket simetriktir.
• Aynı maksimum yüksekliğe ulaşan cisimlerin düşey ilk hız bileşenleri eşittir.
• 45° aynı ilk hızla maksimum menzil verir.
• 30° ve 60° gibi tamamlayıcı açılar aynı menzili verir.
• Farklı seviyeye düşen atışlarda uçuş süresi doğrudan 2v0y/g alınamaz.
• Toplam hız yatay ve düşey bileşenlerin vektörel toplamıdır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Hareketi yatay ve düşey eksenlere ayır.
2. İlk hız ve açı verilmişse v0x=v0cosα, v0y=v0sinα hesapla.
3. Yatay eksende ax=0 ve vx=v0x yaz.
4. Yatay konum için x=v0x·t kullan.
5. Düşey eksende ay=−g yaz.
6. Düşey hız için vy=v0y−gt kullan.
7. Düşey konum için y=v0y t−(1/2)gt² kullan.
8. En yüksek noktada vy=0 koşulunu uygula.
9. Aynı seviyeye dönüş varsa düşey simetriden yararlan.
10. Farklı seviyeye düşüşte konum denkleminden zamanı çöz.
11. Bulduğun zamanı yatay harekete taşıyarak menzili hesapla.
12. Toplam hız isteniyorsa vx ve vy bileşenlerini birleştir.
13. Grafik sorularında yatay eksenin sabit hızlı, düşey eksenin sabit ivmeli olduğunu unutma.
14. Sonucun fiziksel anlamlılığını ve birimini kontrol et.

Konu Özeti

İki boyutta sabit ivmeli harekette yatay ve düşey bileşenler birbirinden bağımsız incelenir. Hava direnci yokken yatay eksende ivme sıfır ve hız sabittir; düşey eksende ivme −g'dir. İlk hız v0x=v0cosα ve v0y=v0sinα bileşenlerine ayrılır. Yatay konum x=v0x t, düşey konum y=v0y t−(1/2)gt², düşey hız vy=v0y−gt ile modellenir. En yüksek noktada vy=0, vx sabittir. Aynı seviyeye atışlarda hareket simetriktir ve 45° aynı ilk hız için maksimum menzil verir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• İki boyutlu hareketi yatay ve düşey bileşenlerine ayırabilmelisin.
• Yatay ve düşey hareketin bağımsızlığını açıklayabilmelisin.
• İlk hızın trigonometrik bileşenlerini hesaplayabilmelisin.
• Yatay hareketi sabit hızlı hareket olarak modelleyebilmelisin.
• Düşey hareketi sabit ivmeli hareket olarak modelleyebilmelisin.
• En yüksek noktadaki hız ve ivmeyi yorumlayabilmelisin.
• Uçuş süresi, maksimum yükseklik ve yatay menzil hesaplayabilmelisin.
• Yatay atış problemlerini çözebilmelisin.
• Aynı seviyeye ve farklı seviyeye düşen eğik atışları ayırt edebilmelisin.
• Hız-zaman ve konum-zaman grafiklerini yorumlayabilmelisin.
• Tamamlayıcı açıları menzil bakımından karşılaştırabilmelisin.
• Toplam hız vektörünü yatay ve düşey bileşenlerden elde edebilmelisin.